Calcule o rotacional das seguintes funções vetoriais:
vc=y^2 i+(2 x y+z^2) j+2 y z k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional da função vetorial dada:
vc=y^2 i+(2 x y+z^2) j+2 y z k
Isso faz parte do estudo do cálculo vetorial, especificamente do rotacional (ou curl), que nos ajuda a entender a rotação de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial v = P i + Q j + R k. A fórmula do rotacional é:
nabla times v = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i - ( partial Rpartial x - partial Ppartial z ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Vamos identificar P, Q e R na nossa função:
  • P = y^2
  • Q = 2 x y + z^2
  • R = 2 y z

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculemos partial Rpartial y:
partial Rpartial y = partialpartial y (2 y z) = 2 z
Em seguida, partial Qpartial z:
partial Qpartial z = partialpartial z (2 x y + z^2) = 2 z

Passo 4

Vamos para a segunda componente. Primeiro, partial Rpartial x:
partial Rpartial x = partialpartial x (2 y z) = 0
E partial Ppartial z:
partial Ppartial z = partialpartial z (y^2) = 0

Passo 5

Agora, a terceira componente. Primeiro, partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (2 x y + z^2) = 2 y
E partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2) = 2 y

Passo 6

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
Para a componente i:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = 2 z - 2 z = 0
Para a componente j:
-( partial Rpartial x - partial Ppartial z ) = -(0 - 0) = 0
Para a componente k:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 y - 2 y = 0

Resposta

Então, o rotacional da função vetorial vc é:
nabla times vc = 0

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