Calcule o rotacional das seguintes funções vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional da função vetorial dada:
Isso faz parte do estudo do cálculo vetorial, especificamente do rotacional (ou curl), que nos ajuda a entender a rotação de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial
. A fórmula do rotacional é:
Vamos identificar
,
e
na nossa função:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculemos
:
Em seguida,
:
Passo 4
Vamos para a segunda componente. Primeiro,
:
E
:
Passo 5
Agora, a terceira componente. Primeiro,
:
E
:
Passo 6
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
Para a componente
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Resposta
Então, o rotacional da função vetorial
é: