Um plano infinito é carregado com densidade superficial de carga sigma. Calcule o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica que intercepta o plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um plano infinito com uma densidade superficial de carga sigma. Precisamos calcular o fluxo elétrico que passa por uma superfície cilíndrica que intercepta esse plano. Vamos usar conceitos de Eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo elétrico, densidade superficial de carga e como aplicar a Lei de Gauss em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. O fluxo elétrico, representado por Phi, é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por uma determinada superfície. Matematicamente, é calculado por:
Phi = oint E cdot dA
Onde E é o campo elétrico e dA é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a Lei de Gauss. Essa lei diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo, varepsilon0:
Phi = Qencvarepsilon0
Isso é super útil quando a distribuição de carga tem simetria, como no nosso caso com o plano infinito.

Passo 4

No nosso problema, temos um plano infinito com densidade superficial de carga sigma. Isso significa que a carga por unidade de área no plano é sigma. Quando um plano infinito tem essa característica, o campo elétrico criado por ele tem a mesma magnitude em ambos os lados do plano e é perpendicular ao plano. A magnitude do campo elétrico é dada por:
E = sigma2varepsilon0

Passo 5

Vamos pensar na superfície cilíndrica que intercepta o plano. Essa superfície tem duas bases circulares paralelas ao plano e uma lateral. Por causa da simetria, o campo elétrico passa apenas pelas duas bases da superfície cilíndrica e não pela lateral, já que o campo é perpendicular ao plano.

Passo 6

Vamos calcular o fluxo elétrico através de cada parte da superfície cilíndrica:
  1. Bases: Cada base tem área A e o campo elétrico é perpendicular a elas. O fluxo através de cada base é então E cdot A.
  2. Lateral: Como o campo é paralelo à lateral, o fluxo aqui é zero.
Então, o fluxo total é a soma dos fluxos pelas duas bases:
Phitotal = E cdot A + E cdot A = 2E cdot A

Passo 7

Substituindo o valor de E que encontramos:
Phitotal = 2 ( sigma2varepsilon0 ) A = sigma Avarepsilon0

Resposta

O fluxo elétrico através da superfície cilíndrica é Phi = dfracsigma Avarepsilon0.

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