Um plano infinito é carregado com densidade superficial de carga
. Calcule o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica que intercepta o plano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um plano infinito com uma densidade superficial de carga
. Precisamos calcular o fluxo elétrico que passa por uma superfície cilíndrica que intercepta esse plano. Vamos usar conceitos de Eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo elétrico, densidade superficial de carga e como aplicar a Lei de Gauss em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo elétrico. O fluxo elétrico, representado por
, é uma medida de quantas linhas de campo elétrico passam por uma determinada superfície. Matematicamente, é calculado por:
Onde
é o campo elétrico e
é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a Lei de Gauss. Essa lei diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo,
:
Isso é super útil quando a distribuição de carga tem simetria, como no nosso caso com o plano infinito.
Passo 4
No nosso problema, temos um plano infinito com densidade superficial de carga
. Isso significa que a carga por unidade de área no plano é
. Quando um plano infinito tem essa característica, o campo elétrico criado por ele tem a mesma magnitude em ambos os lados do plano e é perpendicular ao plano. A magnitude do campo elétrico é dada por:
Passo 5
Vamos pensar na superfície cilíndrica que intercepta o plano. Essa superfície tem duas bases circulares paralelas ao plano e uma lateral. Por causa da simetria, o campo elétrico passa apenas pelas duas bases da superfície cilíndrica e não pela lateral, já que o campo é perpendicular ao plano.
Passo 6
Vamos calcular o fluxo elétrico através de cada parte da superfície cilíndrica:
- Bases: Cada base tem área
e o campo elétrico é perpendicular a elas. O fluxo através de cada base é então . - Lateral: Como o campo é paralelo à lateral, o fluxo aqui é zero.
Então, o fluxo total é a soma dos fluxos pelas duas bases:
Passo 7
Substituindo o valor de
que encontramos:
Resposta
O fluxo elétrico através da superfície cilíndrica é
.