Calcule o rotacional das seguintes funções vetoriais:
va=-y i+x j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função vetorial va = -y i + x j e pede para a gente calcular o rotacional dessa função. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre como encontrar o rotacional de um campo vetorial usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial v = vx i + vy j + vz k é uma nova função vetorial que nos dá informações sobre a “giro” do campo em cada ponto. A fórmula do rotacional é:
nabla times v = ( partial vzpartial y - partial vypartial z ) i + ( partial vxpartial z - partial vzpartial x ) j + ( partial vypartial x - partial vxpartial y ) k

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. A função que temos é va = -y i + x j. Observa que não tem a componente k, então podemos considerar que vz = 0.

Passo 4

Vamos calcular cada uma das componentes do rotacional:
  • Componente i:
    partial vzpartial y - partial vypartial z = partial 0partial y - partial xpartial z = 0 - 0 = 0
  • Componente j:
    partial vxpartial z - partial vzpartial x = partial (-y)partial z - partial 0partial x = 0 - 0 = 0
  • Componente k:
    partial vypartial x - partial vxpartial y = partial xpartial x - partial (-y)partial y = 1 - (-1) = 2

Resposta

Então, o rotacional da função vetorial va é 2 k.

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