Calcule as seguintes derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos usar o Regra do Quociente, que é uma técnica de cálculo usada quando temos uma função dividida por outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No nosso caso:
  • Numerador ( ):
  • Denominador ( ):

Passo 3

Agora, vamos lembrar como aplicar a Regra do Quociente. Ela diz que a derivada de é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de e separadamente.

Passo 4

Vamos calcular , a derivada do numerador:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de uma constante, como , é 0
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada do denominador:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então,

Passo 6

Com e calculados, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos simplificar os termos no numerador:
Primeiro, multiplicamos por :
Então, o primeiro produto fica:
Segundo, multiplicamos por :
Então, o segundo produto fica:

Passo 8

Agora, vamos montar tudo de acordo com a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Então, o numerador simplificado é:

Passo 9

Finalmente, nossa derivada fica:
Essa é a derivada da função original!

Resposta

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Resolva as equações:
  • .
  • .