Resolva as equações:
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Passo 1

Vamos resolver a primeira equação diferencial:
Essa é uma equação linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função na equação, que é o coeficiente de :
O próximo passo é calcular o fator integrante , que é dado por:

Passo 3

Calculamos a integral de :
Ignoramos a constante de integração para o fator integrante:
Como estamos trabalhando com positivo, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:

Passo 7

Isolamos :

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial:
Também essa é uma equação linear de primeira ordem, e utilizaremos o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 9

Identificamos a função :
Calculamos o fator integrante :

Passo 10

Calculamos a integral de :
Ignoramos a constante de integração:
Considerando positivo:

Passo 11

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 12

O lado esquerdo da equação é a derivada do produto :

Passo 13

Integrando ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:

Passo 14

Isolamos :

Resposta

A solução geral da segunda equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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