Resolva as equações:
-
.
-
.
Passo 1
Vamos resolver a primeira equação diferencial:
Essa é uma equação linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função
na equação, que é o coeficiente de
:
O próximo passo é calcular o fator integrante
, que é dado por:
Passo 3
Calculamos a integral de
:
Ignoramos a constante de integração
para o fator integrante:
Como estamos trabalhando com
positivo, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Passo 7
Isolamos
:
Passo 8
Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial:
Também essa é uma equação linear de primeira ordem, e utilizaremos o método do fator integrante para encontrar a solução.
Passo 9
Identificamos a função
:
Calculamos o fator integrante
:
Passo 10
Calculamos a integral de
:
Ignoramos a constante de integração:
Considerando
positivo:
Passo 11
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 12
O lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Passo 13
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Passo 14
Isolamos
:
Resposta
A solução geral da segunda equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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