Calcule as seguintes integrais, aplicando a segunda parte do Teorema fundamental do cálculo e as propriedades da integral: integralpi^5 pi(sen(x)-cos (x)) d x

Passo 1

Então, a gente tem uma integral definida para calcular: . A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, mais especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a encontrar o valor de integrais definidas usando antiderivadas. Vamos precisar saber como integrar as funções seno e cosseno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que a integral de em relação a é , porque a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos integrar . A integral de em relação a é , já que a derivada de é .

Passo 4

Então, a antiderivada de é . Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que devemos avaliar essa antiderivada nos limites de integração e subtrair os resultados.

Passo 5

Vamos calcular em -cos(5pi) - sen(5pi) = -(-1) - 0 = 1 :
E em -cos(pi) - sen(pi) = -(-1) - 0 = 1 :

Resposta

A integral vale .

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