Calcule as seguintes integrais por frações parciais.
(a) integral 12 x^2+21 x+3(x+1)(3 x^2+5 x-1) d x
(b) integral 2 x^2+x+1(x+1)(x^2+9) d x
© integral 6 x^2+8 x-4(x-3)(x^2+6 x+10)
(d) integral x^2+x+5x^2+4 x+10

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de integrais por frações parciais! O enunciado pede para calcular a integral . Vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor frações racionais em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador. Aqui, o numerador é do segundo grau e o denominador é de terceiro grau, então está ok para aplicar frações parciais diretamente.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador totalmente. Já está fatorado como 12x^2+21x+3(x+1)(3x^2+5x-1) = Ax+1 + Bx + C3x^2+5x-1 . O próximo passo é decompor a razão em frações parciais. Assim, escrevemos:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 12x^2 + 21x + 3 = A(3x^2 + 5x - 1) + (Bx + C)(x + 1) para eliminar as frações:

Passo 5

Agora, expandimos o lado direito da equação:
12x^2 + 21x + 3 = A(3x^2 + 5x - 1) + Bx(x) + Bx(1) + C(x) + C(1)
12x^2 + 21x + 3 = 3A x^2 + 5A x - A + Bx^2 + Bx + Cx + C

Passo 6

Agrupamos os termos semelhantes:
12x^2 + 21x + 3 = (3A + B)x^2 + (5A + B + C)x + (-A + C)

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
3A + B = 12 5A + B + C = 21 -A + C = 3

Passo 8

Resolvemos esse sistema de equações. Vamos da última equação:
-A + C = 3 Rightarrow C = A + 3
Substituímos 5A + B + (A + 3) = 21 Rightarrow 6A + B = 18 na segunda equação:
3A + B = 12 6A + B = 18
Agora, temos:
(6A + B) - (3A + B) = 18 - 12 Rightarrow 3A = 6 Rightarrow A = 2
Subtraindo a primeira da segunda:
3(2) + B = 12 Rightarrow 6 + B = 12 Rightarrow B = 6
Substituindo na primeira equação:
E .

Passo 9

Agora que encontramos 12x^2+21x+3(x+1)(3x^2+5x-1) = 2x+1 + 6x + 53x^2+5x-1 , e , substituímos de volta na decomposição inicial:

Passo 10

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral fica:
integral 2x+1 dx + integral 6x + 53x^2+5x-1 dx

Passo 11

A primeira integral é direta:
integral 2x+1 dx = 2 ln|x+1| + C1

Passo 12

Para a segunda integral, observamos que o numerador é uma combinação linear da derivada do denominador:
Derivada de integral 6x + 53x^2+5x-1 dx = ln|3x^2+5x-1| + C2 é , que é exatamente o numerador.
Então:

Passo 13

Juntando as duas integrais, temos:
2 ln|x+1| + ln|3x^2+5x-1| + C

Resposta

integral 12 x^2+21 x+3(x+1)(3 x^2+5 x-1) dx = 2 ln|x+1| + ln|3x^2+5x-1| + C

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