Beleza, vamos resolver o exercício de integrais por frações parciais! O enunciado pede para calcular a integral . Vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor frações racionais em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é menor que o do denominador. Aqui, o numerador é do segundo grau e o denominador é de terceiro grau, então está ok para aplicar frações parciais diretamente.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador totalmente. Já está fatorado como . O próximo passo é decompor a razão em frações parciais. Assim, escrevemos:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, expandimos o lado direito da equação:
Passo 6
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 8
Resolvemos esse sistema de equações. Vamos da última equação:
-A + C = 3 Rightarrow C = A + 3
Substituímos 5A + B + (A + 3) = 21 Rightarrow 6A + B = 18 na segunda equação:
3A + B = 12 6A + B = 18
Agora, temos:
(6A + B) - (3A + B) = 18 - 12 Rightarrow 3A = 6 Rightarrow A = 2
Subtraindo a primeira da segunda:
3(2) + B = 12 Rightarrow 6 + B = 12 Rightarrow B = 6
Substituindo na primeira equação:
E .
Passo 9
Agora que encontramos 12x^2+21x+3(x+1)(3x^2+5x-1) = 2x+1 + 6x + 53x^2+5x-1 , e , substituímos de volta na decomposição inicial:
Passo 10
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral fica:
integral 2x+1 dx + integral 6x + 53x^2+5x-1 dx
Passo 11
A primeira integral é direta:
integral 2x+1 dx = 2 ln|x+1| + C1
Passo 12
Para a segunda integral, observamos que o numerador é uma combinação linear da derivada do denominador:
Derivada de integral 6x + 53x^2+5x-1 dx = ln|3x^2+5x-1| + C2 é , que é exatamente o numerador.
Então:
Passo 13
Juntando as duas integrais, temos:
2 ln|x+1| + ln|3x^2+5x-1| + C
Resposta
integral 12 x^2+21 x+3(x+1)(3 x^2+5 x-1) dx = 2 ln|x+1| + ln|3x^2+5x-1| + C