Calcule as seguintes integrais por frações parciais.
(a) integral xx^2-5 x+6 d x
(b) integral3^4 x+3(x-1)^2 d x
© integral x^3+x+1x^2-2 x+1 d x
(d) integral x+1x(x-2)(x+3) d x
(e) integral x^4+x+1x^3-x d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral:
integral xx^2 - 5x + 6 , dx
Aqui, estamos trabalhando com frações parciais, que é uma técnica usada para decompor uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para resolver isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e então expressar a fração original como a soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) . Isso significa encontrar dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3, então podemos escrever:
integral x(x - 2)(x - 3) , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes x(x - 2)(x - 3) = Ax - 2 + Bx - 3 e x = A(x - 3) + B(x - 2) tais que:
Para achar e , vamos multiplicar ambos os lados por :

Passo 4

Agora, expandimos e igualamos os coeficientes:
x = A x - 3A + B x - 2B
Juntando os termos com x = (A + B)x - (3A + 2B) :
A + B = 1 -3A - 2B = 0
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação, temos -3(1 - B) - 2B = 0 -3 + 3B - 2B = 0 B - 3 = 0 B = 3 . Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 6

Agora que encontramos x(x - 2)(x - 3) = -2x - 2 + 3x - 3 e integral ( -2x - 2 + 3x - 3 ) , dx , podemos reescrever a fração original:
Nossa integral fica:

Passo 7

Vamos agora integrar cada termo separadamente. A integral de integral -2x - 2 , dx = -2 ln|x - 2| é integral 3x - 3 , dx = 3 ln|x - 3| . Aplicando isso:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
-2 ln|x - 2| + 3 ln|x - 3| + C
Onde é a constante de integração.

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