Calcule as seguintes integrais por frações parciais.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral:
Aqui, estamos trabalhando com frações parciais, que é uma técnica usada para decompor uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para resolver isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e então expressar a fração original como a soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso significa encontrar dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3, então podemos escrever:
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Para achar
e
, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, expandimos e igualamos os coeficientes:
Juntando os termos com
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Nossa integral fica:
Passo 7
Vamos agora integrar cada termo separadamente. A integral de
é
. Aplicando isso:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
é a constante de integração.
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;
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Calcule as seguintes integrais por frações parciais.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)