Calcule as seguintes integrais por frações parciais.
(a)
(b)
©
(d)
(e)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral:
Aqui, estamos trabalhando com frações parciais, que é uma técnica usada para decompor uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para resolver isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e então expressar a fração original como a soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso significa encontrar dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3, então podemos escrever:
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Para achar e , vamos multiplicar ambos os lados por :

Passo 4

Agora, expandimos e igualamos os coeficientes:
Juntando os termos com :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 6

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:
Nossa integral fica:

Passo 7

Vamos agora integrar cada termo separadamente. A integral de é . Aplicando isso:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule as seguintes integrais por frações parciais.
(a)
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