Estime o valor do limite
com uma precisão de quatro casas decimais. Esse número lhe parece familiar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0, e precisamos calcular isso com quatro casas decimais. Esse limite é famoso porque ele nos leva ao número
, que é a base dos logaritmos naturais. Vamos usar algumas ferramentas de cálculo para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, para facilitar a resolução, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da expressão. Assim, podemos lidar com a parte do expoente de maneira mais simples. Então, temos:
Passo 3
Agora, utilizando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar a expressão dentro do limite:
Passo 4
Esse limite agora é uma forma conhecida, que nos ajuda a encontrar o valor de
. Sabemos que:
Passo 5
Então, voltando ao que fizemos no Passo 2, temos:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
Resposta
O limite
é igual a
. Esse número é conhecido como a constante de Euler, representado por
.