Estime o valor do limite lim x 0(1+x)^1 / x com uma precisão de quatro casas decimais. Esse número lhe parece familiar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite de (1+x)^1/x quando x se aproxima de 0, e precisamos calcular isso com quatro casas decimais. Esse limite é famoso porque ele nos leva ao número e, que é a base dos logaritmos naturais. Vamos usar algumas ferramentas de cálculo para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a resolução, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da expressão. Assim, podemos lidar com a parte do expoente de maneira mais simples. Então, temos:
ln( limx to 0 (1+x)^1/x ) = limx to 0 ln( (1+x)^1/x )

Passo 3

Agora, utilizando a propriedade dos logaritmos que diz ln(a^b) = b cdot ln(a), podemos simplificar a expressão dentro do limite:
limx to 0 ln(1+x)x

Passo 4

Esse limite agora é uma forma conhecida, que nos ajuda a encontrar o valor de e. Sabemos que:
limx to 0 ln(1+x)x = 1

Passo 5

Então, voltando ao que fizemos no Passo 2, temos:
ln( limx to 0 (1+x)^1/x ) = 1
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial dos dois lados:
limx to 0 (1+x)^1/x = e^1 = e

Resposta

O limite lim x 0(1+x)^1 / x é igual a 2.7183. Esse número é conhecido como a constante de Euler, representado por e.

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