Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a) integral 3 d x
(b) integral(a x+b) d x
© integral(3 raiz[5]x^2+3) d x
(d) integral x^2+1x d x
(e) integral sen 5 x d x
(f) integral(5 e^7 t+e^-t+cos 7 t) d t.

Passo 1

Vamos resolver as integrais indefinidas listadas de (a) a (f). Estamos trabalhando com o cálculo integral, especificamente integrando funções básicas. Para isso, vamos usar regras de integração simples e propriedades de funções conhecidas.

Parte (a)

Passo 2

Aqui temos uma constante, 3, multiplicando . A regra básica de integração diz que a integral de uma constante em relação a é , onde é a constante de integração.

Passo 3

A função a ser integrada é integral (a x + b) , dx = integral a x , dx + integral b , dx . Podemos separar a integral em duas partes usando a propriedade de linearidade da integral:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Para integral a x , dx = a cdot x^22 = a x^22 , usamos a regra de potência: integral b , dx = b x . Aqui, :
Para , como é constante:

Passo 5

A função a ser integrada é integral (3 x^2/5 + 3) , dx = 3 integral x^2/5 , dx + 3 integral 1 , dx . Podemos reescrever como e então separar a integral:

Passo 6

Integrando integral x^2/5 , dx = x^2/5 + 12/5 + 1 = x^7/57/5 = 57 x^7/5 usando a regra de potência:
3 integral x^2/5 , dx = 3 cdot 57 x^7/5 = 157 x^7/5
Então:
integral 1 , dx = x
Para 3 integral 1 , dx = 3x :
Então:

Passo 7

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral dividindo cada termo do numerador por x^2 + 1x = x^2x + 1x = x + 1x :
integral (x + 1x) , dx = integral x , dx + integral 1x , dx
Então, a integral fica:

Passo 8

Integrando cada termo:
integral x , dx = x^22
integral 1x , dx = ln|x|

Passo 9

Aqui temos a integral da função seno com um múltiplo dentro do argumento. A regra para integrar integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C é:
onde é uma constante.

Passo 10

Aplicando a regra com integral sin(5x) , dx = -15 cos(5x) + C :

Passo 11

Vamos separar a integral em três partes:
integral 5 e^7 t , dt + integral e^-t , dt + integral cos(7 t) , dt

Passo 12

Integrando cada termo individualmente:
integral 5 e^7 t , dt = 5 cdot e^7 t7 = 57 e^7 t
integral e^-t , dt = -e^-t
integral cos(7 t) , dt = sin(7 t)7

Resposta

integral (5 e^7 t + e^-t + cos(7 t)) , dt = 57 e^7 t - e^-t + sin(7 t)7 + C

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