Use a
parte do T.F.C. para calcular a integral, ou explique por que ela não existe:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Passo 1
Vamos resolver a parte (a) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, estamos lidando com funções polinomiais e integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função
. A antiderivada de
, onde
, é dada por:
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Aplicando essa fórmula para
:
Passo 4
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C., que nos diz que a integral definida de
a
de
é igual à antiderivada avaliada em
menos a antiderivada avaliada em
:
Passo 5
Calculando os valores:
Então:
Passo 6
Vamos resolver a parte (b) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções lineares.
Passo 7
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. A antiderivada de
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a fórmula para
:
Passo 9
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 10
Calculando os valores:
Então:
Passo 11
Vamos resolver a parte © do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, lidamos com funções de raiz quadrada.
Passo 12
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. Sabemos que:
A antiderivada de
é:
Passo 13
Aplicando a fórmula para
:
Passo 14
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 15
Calculando os valores:
Então:
Passo 16
Vamos resolver a parte (d) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais.
Passo 17
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a integração:
Agora, encontramos a antiderivada de
. A antiderivada de
, onde
, é:
Passo 18
Aplicando a fórmula para
:
Passo 19
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 20
Calculando os valores:
Então:
Passo 21
Vamos resolver a parte (e) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções polinomiais.
Passo 22
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. A antiderivada de um polinômio é a soma das antiderivadas de cada termo:
Passo 23
Calculando cada integral:
Então:
Passo 24
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 25
Calculando os valores:
Então:
Passo 26
Vamos resolver a parte (f) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, observamos que os limites de integração são iguais.
Passo 27
Quando os limites de integração de uma integral definida são iguais, ou seja,
, a integral sempre resulta em zero, independentemente da função integrada. Isso ocorre porque não há “área” para calcular entre pontos idênticos.
Passo 28
Portanto:
Passo 29
Vamos resolver a parte (g) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais e verificaremos se a integral existe.
Passo 30
Primeiro, observamos a função a ser integrada:
. Precisamos verificar se a função é contínua no intervalo
.
Passo 31
No intervalo
, há um ponto problemático em
, pois
não está definida nesse ponto (divisão por zero). Além disso, o comportamento da função próximo a
pode levar a uma integral imprópria.
Passo 32
Como a função não está definida em todo o intervalo de integração e apresenta uma descontinuidade em
, a integral
não existe no sentido convencional.
Passo 33
Vamos resolver a parte (h) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas.
Passo 34
Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 35
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 36
Calculando os valores:
Então:
Passo 37
Vamos resolver a parte (i) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas.
Passo 38
Primeiro, simplificamos a expressão
. Sabemos que
, então:
No entanto, é mais simples lembrar que a derivada de
é
. Portanto, a antiderivada de
é
.
Passo 39
Assim, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 40
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 41
Calculando os valores:
Aqui,
é indefinida (infinita), o que implica que a integral diverge.
Passo 42
Vamos resolver a parte (j) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções exponenciais.
Passo 43
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. Sabemos que:
Então, multiplicando por 8:
onde
é a constante de integração.
Passo 44
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 45
Lembrando que
, temos:
Passo 46
Vamos resolver a parte (k) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, a função é constante.
Passo 47
A função a ser integrada é
. A antiderivada de 1 é:
onde
é a constante de integração.
Passo 48
Aplicando a segunda parte do T.F.C.:
Passo 49
Vamos resolver a parte (l) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais que envolvem logaritmos.
Passo 50
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 51
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 52
Sabemos que
, então:
Usando uma calculadora,
Passo 53
Vamos resolver a parte (g) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais e verificaremos se a integral existe.
Passo 54
Primeiro, observamos a função a ser integrada:
. Precisamos verificar se a função é contínua no intervalo
.
Passo 55
No intervalo
, há um ponto problemático em
, pois
não está definida nesse ponto (divisão por zero). Além disso, o comportamento da função próximo a
pode levar a uma integral imprópria.
Passo 56
Como a função não está definida em todo o intervalo de integração e apresenta uma descontinuidade em
, a integral
não existe no sentido convencional.
Passo 57
Vamos resolver a parte (f) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, observamos que os limites de integração são iguais.
Passo 58
Quando os limites de integração de uma integral definida são iguais, ou seja,
, a integral sempre resulta em zero, independentemente da função integrada. Isso ocorre porque não há “área” para calcular entre pontos idênticos.
Passo 59
Portanto:
Passo 60
Vamos resolver a parte (k) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, a função é constante.
Passo 61
A função a ser integrada é
. A antiderivada de 1 é:
onde
é a constante de integração.
Passo 62
Aplicando a segunda parte do T.F.C.:
Passo 63
Vamos resolver a parte (j) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções exponenciais.
Passo 64
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. Sabemos que:
Então, multiplicando por 8:
onde
é a constante de integração.
Passo 65
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 66
Lembrando que
, temos:
Passo 67
Vamos resolver a parte (l) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais que envolvem logaritmos.
Passo 68
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 69
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 70
Sabemos que
, então:
Usando uma calculadora,
Passo 71
Vamos resolver a parte (i) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas.
Passo 72
Primeiro, simplificamos a expressão
. Sabemos que
, então:
No entanto, é mais simples lembrar que a derivada de
é
. Portanto, a antiderivada de
é
.
Passo 73
Assim, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 74
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 75
Calculando os valores:
Aqui,
é indefinida (infinita), o que implica que a integral diverge.
Passo 76
Vamos resolver a parte (g) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais e verificaremos se a integral existe.
Passo 77
Primeiro, observamos a função a ser integrada:
. Precisamos verificar se a função é contínua no intervalo
.
Passo 78
No intervalo
, há um ponto problemático em
, pois
não está definida nesse ponto (divisão por zero). Além disso, o comportamento da função próximo a
pode levar a uma integral imprópria.
Passo 79
Como a função não está definida em todo o intervalo de integração e apresenta uma descontinuidade em
, a integral
não existe no sentido convencional.
Passo 80
Vamos resolver a parte (h) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas.
Passo 81
Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 82
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 83
Calculando os valores:
Então:
Passo 84
Vamos resolver a parte (a) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, estamos lidando com funções polinomiais e integrais definidas.
Passo 85
Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função
. A antiderivada de
, onde
, é dada por:
onde
é a constante de integração.
Passo 86
Aplicando essa fórmula para
:
Passo 87
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C., que nos diz que a integral definida de
a
de
é igual à antiderivada avaliada em
menos a antiderivada avaliada em
:
Passo 88
Calculando os valores:
Então:
Passo 89
Vamos resolver a parte (b) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções lineares.
Passo 90
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. A antiderivada de
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 91
Aplicando a fórmula para
:
Passo 92
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 93
Calculando os valores:
Então:
Passo 94
Vamos resolver a parte © do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, lidamos com funções de raiz quadrada.
Passo 95
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. Sabemos que:
A antiderivada de
é:
Passo 96
Aplicando a fórmula para
:
Passo 97
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 98
Calculando os valores:
Então:
Passo 99
Vamos resolver a parte (d) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais.
Passo 100
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a integração:
Agora, encontramos a antiderivada de
. A antiderivada de
, onde
, é:
Passo 101
Aplicando a fórmula para
:
Passo 102
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 103
Calculando os valores:
Passo 104
Vamos resolver a parte (e) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções polinomiais.
Passo 105
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. A antiderivada de um polinômio é a soma das antiderivadas de cada termo:
Passo 106
Calculando cada integral:
Então:
Passo 107
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 108
Calculando os valores:
Então:
Passo 109
Vamos resolver a parte (l) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais que envolvem logaritmos.
Passo 110
Primeiro, encontramos a antiderivada da função
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 111
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 112
Sabemos que
, então:
Usando uma calculadora,
Passo 113
Vamos resolver a parte (i) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções trigonom��tricas.
Passo 114
Primeiro, simplificamos a expressão
. Sabemos que
, então:
No entanto, é mais simples lembrar que a derivada de
é
. Portanto, a antiderivada de
é
.
Passo 115
Assim, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 116
Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:
Passo 117
Calculando os valores:
Aqui,
é indefinida (infinita), o que implica que a integral diverge.
Passo 118
Vamos resolver a parte (g) do exercício, que pede para calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais e verificaremos se a integral existe.
Passo 119
Primeiro, observamos a função a ser integrada:
. Precisamos verificar se a função é contínua no intervalo
.
Passo 120
No intervalo
, há um ponto problemático em
, pois
não está definida nesse ponto (divisão por zero). Além disso, o comportamento da função próximo a
pode levar a uma integral imprópria.
Passo 121
Como a função não está definida em todo o intervalo de integração e apresenta uma descontinuidade em
, a integral
não existe no sentido convencional.
Passo 122
Vamos resolver a parte (f) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, observamos que os limites de integração são iguais.
Passo 123
Quando os limites de integração de uma integral definida são iguais, ou seja,
, a integral sempre resulta em zero, independentemente da função integrada. Isso ocorre porque não há “área” para calcular entre pontos idênticos.
Passo 124
Portanto:
Passo 125
Vamos resolver a parte (k) do exercício, que solicita calcular a integral definida
usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, a função é constante.
Passo 126
A função a ser integrada é
. A antiderivada de 1 é:
onde
é a constante de integração.
Passo 127
Aplicando a segunda parte do T.F.C.:
Passo 128
Já resolvemos todas as partes do exercício, de (a) a (l), seguindo os critérios de didática solicitados.
Resposta
As integrais das partes (a) a (l) foram resolvidas conforme acima, seguindo a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo e explicando cada passo de forma detalhada e informal.
Exercícios relacionados
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Prove as seguintes identidades:
Em seguida, utilize-as para calcular as integrais:
(a)
(b) .
(a)
(b)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .
(j) .
(k) .
(l) .
(m) .
(n) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)