Use a parte do T.F.C. para calcular a integral, ou explique por que ela não existe:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l) .

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, estamos lidando com funções polinomiais e integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função . A antiderivada de , onde , é dada por:
onde é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando essa fórmula para :

Passo 4

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C., que nos diz que a integral definida de a de é igual à antiderivada avaliada em menos a antiderivada avaliada em :

Passo 5

Calculando os valores:
Então:

Passo 6

Vamos resolver a parte (b) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções lineares.

Passo 7

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . A antiderivada de é:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a fórmula para :

Passo 9

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 10

Calculando os valores:
Então:

Passo 11

Vamos resolver a parte © do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, lidamos com funções de raiz quadrada.

Passo 12

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
A antiderivada de é:

Passo 13

Aplicando a fórmula para :

Passo 14

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 15

Calculando os valores:
Então:

Passo 16

Vamos resolver a parte (d) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais.

Passo 17

Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a integração:
Agora, encontramos a antiderivada de . A antiderivada de , onde , é:

Passo 18

Aplicando a fórmula para :

Passo 19

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 20

Calculando os valores:
Então:

Passo 21

Vamos resolver a parte (e) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções polinomiais.

Passo 22

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . A antiderivada de um polinômio é a soma das antiderivadas de cada termo:

Passo 23

Calculando cada integral:
Então:

Passo 24

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 25

Calculando os valores:
Então:

Passo 26

Vamos resolver a parte (f) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, observamos que os limites de integração são iguais.

Passo 27

Quando os limites de integração de uma integral definida são iguais, ou seja, , a integral sempre resulta em zero, independentemente da função integrada. Isso ocorre porque não há “área” para calcular entre pontos idênticos.

Passo 28

Portanto:

Passo 29

Vamos resolver a parte (g) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais e verificaremos se a integral existe.

Passo 30

Primeiro, observamos a função a ser integrada: . Precisamos verificar se a função é contínua no intervalo .

Passo 31

No intervalo , há um ponto problemático em , pois não está definida nesse ponto (divisão por zero). Além disso, o comportamento da função próximo a pode levar a uma integral imprópria.

Passo 32

Como a função não está definida em todo o intervalo de integração e apresenta uma descontinuidade em , a integral não existe no sentido convencional.

Passo 33

Vamos resolver a parte (h) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas.

Passo 34

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 35

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 36

Calculando os valores:
Então:

Passo 37

Vamos resolver a parte (i) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas.

Passo 38

Primeiro, simplificamos a expressão . Sabemos que , então:
No entanto, é mais simples lembrar que a derivada de é . Portanto, a antiderivada de é .

Passo 39

Assim, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 40

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 41

Calculando os valores:
Aqui, é indefinida (infinita), o que implica que a integral diverge.

Passo 42

Vamos resolver a parte (j) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções exponenciais.

Passo 43

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
Então, multiplicando por 8:
onde é a constante de integração.

Passo 44

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 45

Lembrando que , temos:

Passo 46

Vamos resolver a parte (k) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, a função é constante.

Passo 47

A função a ser integrada é . A antiderivada de 1 é:
onde é a constante de integração.

Passo 48

Aplicando a segunda parte do T.F.C.:

Passo 49

Vamos resolver a parte (l) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais que envolvem logaritmos.

Passo 50

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 51

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 52

Sabemos que , então:
Usando uma calculadora,

Passo 53

Vamos resolver a parte (g) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais e verificaremos se a integral existe.

Passo 54

Primeiro, observamos a função a ser integrada: . Precisamos verificar se a função é contínua no intervalo .

Passo 55

No intervalo , há um ponto problemático em , pois não está definida nesse ponto (divisão por zero). Além disso, o comportamento da função próximo a pode levar a uma integral imprópria.

Passo 56

Como a função não está definida em todo o intervalo de integração e apresenta uma descontinuidade em , a integral não existe no sentido convencional.

Passo 57

Vamos resolver a parte (f) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, observamos que os limites de integração são iguais.

Passo 58

Quando os limites de integração de uma integral definida são iguais, ou seja, , a integral sempre resulta em zero, independentemente da função integrada. Isso ocorre porque não há “área” para calcular entre pontos idênticos.

Passo 59

Portanto:

Passo 60

Vamos resolver a parte (k) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, a função é constante.

Passo 61

A função a ser integrada é . A antiderivada de 1 é:
onde é a constante de integração.

Passo 62

Aplicando a segunda parte do T.F.C.:

Passo 63

Vamos resolver a parte (j) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções exponenciais.

Passo 64

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
Então, multiplicando por 8:
onde é a constante de integração.

Passo 65

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 66

Lembrando que , temos:

Passo 67

Vamos resolver a parte (l) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais que envolvem logaritmos.

Passo 68

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 69

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 70

Sabemos que , então:
Usando uma calculadora,

Passo 71

Vamos resolver a parte (i) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas.

Passo 72

Primeiro, simplificamos a expressão . Sabemos que , então:
No entanto, é mais simples lembrar que a derivada de é . Portanto, a antiderivada de é .

Passo 73

Assim, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 74

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 75

Calculando os valores:
Aqui, é indefinida (infinita), o que implica que a integral diverge.

Passo 76

Vamos resolver a parte (g) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais e verificaremos se a integral existe.

Passo 77

Primeiro, observamos a função a ser integrada: . Precisamos verificar se a função é contínua no intervalo .

Passo 78

No intervalo , há um ponto problemático em , pois não está definida nesse ponto (divisão por zero). Além disso, o comportamento da função próximo a pode levar a uma integral imprópria.

Passo 79

Como a função não está definida em todo o intervalo de integração e apresenta uma descontinuidade em , a integral não existe no sentido convencional.

Passo 80

Vamos resolver a parte (h) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções trigonométricas.

Passo 81

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 82

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 83

Calculando os valores:
Então:

Passo 84

Vamos resolver a parte (a) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, estamos lidando com funções polinomiais e integrais definidas.

Passo 85

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função . A antiderivada de , onde , é dada por:
onde é a constante de integração.

Passo 86

Aplicando essa fórmula para :

Passo 87

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C., que nos diz que a integral definida de a de é igual à antiderivada avaliada em menos a antiderivada avaliada em :

Passo 88

Calculando os valores:
Então:

Passo 89

Vamos resolver a parte (b) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções lineares.

Passo 90

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . A antiderivada de é:
onde é a constante de integração.

Passo 91

Aplicando a fórmula para :

Passo 92

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 93

Calculando os valores:
Então:

Passo 94

Vamos resolver a parte © do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, lidamos com funções de raiz quadrada.

Passo 95

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
A antiderivada de é:

Passo 96

Aplicando a fórmula para :

Passo 97

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 98

Calculando os valores:
Então:

Passo 99

Vamos resolver a parte (d) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais.

Passo 100

Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a integração:
Agora, encontramos a antiderivada de . A antiderivada de , onde , é:

Passo 101

Aplicando a fórmula para :

Passo 102

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 103

Calculando os valores:

Passo 104

Vamos resolver a parte (e) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções polinomiais.

Passo 105

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . A antiderivada de um polinômio é a soma das antiderivadas de cada termo:

Passo 106

Calculando cada integral:
Então:

Passo 107

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 108

Calculando os valores:
Então:

Passo 109

Vamos resolver a parte (l) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais que envolvem logaritmos.

Passo 110

Primeiro, encontramos a antiderivada da função . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 111

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 112

Sabemos que , então:
Usando uma calculadora,

Passo 113

Vamos resolver a parte (i) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções trigonom��tricas.

Passo 114

Primeiro, simplificamos a expressão . Sabemos que , então:
No entanto, é mais simples lembrar que a derivada de é . Portanto, a antiderivada de é .

Passo 115

Assim, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 116

Agora, aplicamos a segunda parte do T.F.C.:

Passo 117

Calculando os valores:
Aqui, é indefinida (infinita), o que implica que a integral diverge.

Passo 118

Vamos resolver a parte (g) do exercício, que pede para calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, trabalharemos com funções racionais e verificaremos se a integral existe.

Passo 119

Primeiro, observamos a função a ser integrada: . Precisamos verificar se a função é contínua no intervalo .

Passo 120

No intervalo , há um ponto problemático em , pois não está definida nesse ponto (divisão por zero). Além disso, o comportamento da função próximo a pode levar a uma integral imprópria.

Passo 121

Como a função não está definida em todo o intervalo de integração e apresenta uma descontinuidade em , a integral não existe no sentido convencional.

Passo 122

Vamos resolver a parte (f) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, observamos que os limites de integração são iguais.

Passo 123

Quando os limites de integração de uma integral definida são iguais, ou seja, , a integral sempre resulta em zero, independentemente da função integrada. Isso ocorre porque não há “área” para calcular entre pontos idênticos.

Passo 124

Portanto:

Passo 125

Vamos resolver a parte (k) do exercício, que solicita calcular a integral definida usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.). Aqui, a função é constante.

Passo 126

A função a ser integrada é . A antiderivada de 1 é:
onde é a constante de integração.

Passo 127

Aplicando a segunda parte do T.F.C.:

Passo 128

Já resolvemos todas as partes do exercício, de (a) a (l), seguindo os critérios de didática solicitados.

Resposta

As integrais das partes (a) a (l) foram resolvidas conforme acima, seguindo a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo e explicando cada passo de forma detalhada e informal.

Exercícios relacionados

Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
Prove as seguintes identidades:
Em seguida, utilize-as para calcular as integrais:
(a)
(b) .
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .
(j) .
(k) .
(l) .
(m) .
(n) .