Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a. integral sen(3 x) cos (2 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . A gente vai usar trigonometria, especificamente uma identidade que envolve senos e cossenos, pra simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que diz que o produto de senos e cossenos pode ser escrito como a soma de senos. A identidade é:
sin(A) cos(B) = sin(A + B) + sin(A - B)2
Isso ajuda a transformar o produto em uma soma, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral, onde sin(3x) cos(2x) = sin(3x + 2x) + sin(3x - 2x)2 = sin(5x) + sin(x)2 e integral sin(3x) cos(2x) , dx = integral sin(5x) + sin(x)2 , dx , temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos dividir a integral:
integral sin(5x) + sin(x)2 , dx = 12 integral sin(5x) , dx + 12 integral sin(x) , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral sin(kx) , dx = -cos(kx)k + C em relação a é:
Onde é uma constante.

Passo 6

Aplicando isso aos nossos termos:
12 integral sin(5x) , dx = 12 ( -cos(5x)5 ) = -cos(5x)10
E:
12 integral sin(x) , dx = 12 ( -cos(x) ) = -cos(x)2

Passo 7

Juntando as duas partes, temos:
-cos(5x)10 - cos(x)2 + C

Resposta

integral sin(3x) cos(2x) , dx = -cos(5x)10 - cos(x)2 + C

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