Seja
f(x)=integral1^x 2 traiz4+t^4 d t
Calcule os valores f(-1), f(1), f^prime(-1), f^prime(1), f^prime prime(-1), f^prime prime(1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
f(x) = integral1^x 2traiz4 + t^4, dt
Precisamos calcular os valores de , , , , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e derivação, como o Teorema Fundamental do Cálculo e regras de derivação.

Passo 2

Vamos começar calculando f(1) = integral1^1 2traiz4 + t^4, dt = 0 . A integral vai de 1 até 1, ou seja, os limites de integração são iguais. Quando isso acontece, a área sob a curva é zero. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular f(-1) = integral1^-1 2traiz4 + t^4, dt = -integral-1^1 2traiz4 + t^4, dt . A integral de 1 a -1 pode ser reescrita mudando os limites de integração e o sinal:
f(-1) = 0
Observando que a função é ímpar (porque o numerador é ímpar e o denominador é par), a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em relação à origem é zero. Logo:

Passo 4

Vamos encontrar a primeira derivada f'(x) = 2xraiz4 + x^4 . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma função definida por uma integral é o integrando avaliado no ponto f'(1) = 2 cdot 1raiz4 + 1^4 = 2raiz5 . Então:
f'(-1) = 2 cdot (-1)raiz4 + (-1)^4 = -2raiz5
Agora, podemos calcular e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada f'(x) = 2xraiz4 + x^4 = 2x (4 + x^4)^-1/2 . Precisamos derivar f''(x) = 2(4 + x^4)^-1/2 + 2x cdot (-12)(4 + x^4)^-3/2 cdot 4x^3 :
f''(x) = 2raiz4 + x^4 - 4x^4(4 + x^4)^3/2
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
f''(x) = 2(4) - 2x^4(4 + x^4)^3/2 = 8 - 2x^4(4 + x^4)^3/2 = 2(4 - x^4)(4 + x^4)^3/2
Simplificando:
f''(1) = 2(4 - 1)(4 + 1)^3/2 = 65raiz5
Fatorando:
f''(-1) = 2(4 - (-1)^4)(4 + (-1)^4)^3/2 = 65raiz5
Agora, calculamos em e :
Para :
Para :

Resposta

f(-1) = 0, f(1) = 0
f'(-1) = -2raiz5, f'(1) = 2raiz5
f''(-1) = 65raiz5, f''(1) = 65raiz5

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