De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de
. Se o raio da base do funil é de 12 dm e a altura é de 24 dm , calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo, quando o nível estiver a 6 dm do tôpo.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um funil em formato de cone de onde a água está saindo a uma taxa de
. O funil tem uma base com raio de 12 dm e altura de 24 dm. Queremos descobrir quão rápido o nível da água está descendo quando ele está a 6 dm do topo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria dos cones e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar o volume de água no funil com a altura da água. A fórmula do volume
de um cone é:
onde:
-
é o raio da superfície da água, -
é a altura da água.
Passo 3
Como o funil é um cone, a relação entre o raio e a altura mantém uma proporção constante. Sabemos que a base do funil tem raio 12 dm e altura 24 dm, então:
Isso significa que o raio da água
em qualquer altura
é:
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula do volume:
Então, o volume da água em função da altura é:
Passo 5
Queremos encontrar a velocidade com que a altura
está mudando em relação ao tempo, ou seja,
, quando
dm. Sabemos que a taxa de variação do volume é
.
Passo 6
Vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Passo 8
Substituímos os valores conhecidos
dm e
:
Resposta
A velocidade com que o nível da água está descendo, quando o nível estiver a 6 dm do topo, é de
.
Exercícios relacionados
(10 pontos) Considere a função
periódica de período
. Tal que
Encontre a série de Fourier de
.
Mostre que
, seja qual for o
.
Seja
Calcule os valores
.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a. .
a.