De um funil cônico a água escoa a uma velocidade de 3 dm^3 / seg. Se o raio da base do funil é de 12 dm e a altura é de 24 dm , calcule a velocidade com a qual o nível de água está descendo, quando o nível estiver a 6 dm do tôpo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um funil em formato de cone de onde a água está saindo a uma taxa de . O funil tem uma base com raio de 12 dm e altura de 24 dm. Queremos descobrir quão rápido o nível da água está descendo quando ele está a 6 dm do topo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria dos cones e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar o volume de água no funil com a altura da água. A fórmula do volume de um cone é:
onde:
  • é o raio da superfície da água,
  • é a altura da água.

Passo 3

Como o funil é um cone, a relação entre o raio e a altura mantém uma proporção constante. Sabemos que a base do funil tem raio 12 dm e altura 24 dm, então:
Isso significa que o raio da água em qualquer altura é:

Passo 4

Vamos substituir na fórmula do volume:
Então, o volume da água em função da altura é:

Passo 5

Queremos encontrar a velocidade com que a altura está mudando em relação ao tempo, ou seja, , quando dm. Sabemos que a taxa de variação do volume é .

Passo 6

Vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo:

Passo 7

Agora, isolamos :

Passo 8

Substituímos os valores conhecidos dm e :

Resposta

A velocidade com que o nível da água está descendo, quando o nível estiver a 6 dm do topo, é de .

Exercícios relacionados

(10 pontos) Considere a função f: R -> R periódica de período T = 2 * 4. Tal que
f(x) = x, -4 <= x <= 4
Encontre a série de Fourier de f.
Mostre que x/(1+x) < ln(1+x) < x, seja qual for o x > 0.
Seja
f(x)=integral1^x 2 traiz4+t^4 d t
Calcule os valores f(-1), f(1), f^prime(-1), f^prime(1), f^prime prime(-1), f^prime prime(1).
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a. integral sen(3 x) cos (2 x) d x.