Calcule as seguintes integrais indefinidas: (1,0 pts) integral x sen(5 x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida . Para resolver essa integral, vamos usar o método da integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica ao derivar e como a parte restante.

Passo 3

Vamos definir:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin(5x) , dx Rightarrow v = integral sin(5x) , dx
Para encontrar v = -15 cos(5x) , integremos :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cdot sin(5x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores encontrados:
= x cdot (-15 cos(5x)) - integral (-15 cos(5x)) cdot dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
= -x5 cos(5x) + 15 integral cos(5x) , dx
Agora, vamos integrar integral cos(5x) , dx = 15 sin(5x) :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
= -x5 cos(5x) + 15 cdot 15 sin(5x) + C
= -x5 cos(5x) + 125 sin(5x) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
integral x cdot sin(5x) , dx = -x5 cos(5x) + 125 sin(5x) + C

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