Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o gráfico da função
a seguir.
Passo 1
Vamos resolver o exercício de determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Para isso, vamos precisar utilizar ferramentas do cálculo, mais especificamente derivadas, para analisar onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajudará a identificar os pontos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Passo 3
A função
é uma divisão de duas funções:
e
. Para derivar essa função, usaremos a regra do quociente, que nos diz que:
onde
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada
:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Passo 7
Resolvendo
:
Como
para
, a desigualdade depende do sinal de
:
Então, a função está crescendo para
.
Passo 8
Resolvendo
:
Novamente,
, então:
Assim, a função está decrescendo para
.
Passo 9
Agora, para esboçar o gráfico da função
, consideramos os seguintes pontos:
- A função está definida para
. - Quando
se aproxima de 0, tende a . - Quando
tende ao infinito, tende a 0. - Há um ponto de máximo relativo em
, onde .
Resposta
A função
está crescente no intervalo
e decrescente no intervalo
. O gráfico apresenta um ponto de máximo em
com valor
, tende a
quando
se aproxima de 0, e a 0 quando
tende ao infinito.