Determine os intervalos de crescimento e decrescimento e esboce o gráfico da função a seguir.

Passo 1

Vamos resolver o exercício de determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função . Para isso, vamos precisar utilizar ferramentas do cálculo, mais especificamente derivadas, para analisar onde a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos ajudará a identificar os pontos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.

Passo 3

A função é uma divisão de duas funções: e . Para derivar essa função, usaremos a regra do quociente, que nos diz que:
onde e .

Passo 4

Calculando as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada :
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.

Passo 7

Resolvendo :
Como para , a desigualdade depende do sinal de :
Então, a função está crescendo para .

Passo 8

Resolvendo :
Novamente, , então:
Assim, a função está decrescendo para .

Passo 9

Agora, para esboçar o gráfico da função , consideramos os seguintes pontos:
  • A função está definida para .
  • Quando se aproxima de 0, tende a .
  • Quando tende ao infinito, tende a 0.
  • Há um ponto de máximo relativo em , onde .

Resposta

A função está crescente no intervalo e decrescente no intervalo . O gráfico apresenta um ponto de máximo em com valor , tende a quando se aproxima de 0, e a 0 quando tende ao infinito.

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