Calcule as seguintes integrais indefinidas usando as técnicas de integração: integral 2 x(x^2-2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Para isso, vamos usar o conteúdo de técnicas de integração, especificamente a substituição. Precisamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Observando a expressão u = x^2 - 2 , vamos definir:
Essa substituição nos ajuda porque o denominador vira .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x, dx em relação a para encontrar :
Isso é ótimo porque aparece exatamente no numerador da nossa integral.

Passo 4

Substituindo integral 2x(x^2-2)^2 dx = integral duu^2 e na integral original, temos:
Agora a integral está mais simples, em termos de .

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^-2 du = -u^-1 + C = -1u + C . Podemos reescrever como , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original -1u + C = -1x^2 - 2 + C substituindo :

Resposta

integral 2x(x^2-2)^2 dx = -1x^2 - 2 + C

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