Use o Teorema fundamental do cálculo para calcular as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a calcular integrais usando antiderivadas. Vamos precisar também de técnicas de integração, especificamente a integração por partes, já que temos um produto de funções (x e seno de 2x).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integração por partes. A fórmula é:
Aqui, vamos escolher:
-
(porque ao derivar, simplifica) -
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
-
- Para encontrar
, integramos :
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar
:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 7
Calculamos para
:
E para
:
Passo 8
Agora, subtraímos os valores:
Resposta
O valor da integral definida é
.
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