Use o Teorema fundamental do cálculo para calcular as seguintes integrais definidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a calcular integrais usando antiderivadas. Vamos precisar também de técnicas de integração, especificamente a integração por partes, já que temos um produto de funções (x e seno de 2x).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integração por partes. A fórmula é:
Aqui, vamos escolher:
  • (porque ao derivar, simplifica)

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • Para encontrar , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Vamos integrar :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 7

Calculamos para :
E para :

Passo 8

Agora, subtraímos os valores:

Resposta

O valor da integral definida é .

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