Use o Teorema fundamental do cálculo para calcular as seguintes integrais definidas: integral-pi^pi x sin (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-pi^pi x sin (2x) , dx. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a calcular integrais usando antiderivadas. Vamos precisar também de técnicas de integração, especificamente a integração por partes, já que temos um produto de funções (x e seno de 2x).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
  • u = x (porque ao derivar, simplifica)
  • dv = sin(2x) , dx

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar dv:
  • du = dx
  • Para encontrar v, integramos dv:
v = integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x sin(2x) , dx = uv - integral v , du = x (-12 cos(2x)) - integral (-12 cos(2x)) dx
Simplificando:
= -x2 cos(2x) + 12 integral cos(2x) , dx

Passo 5

Vamos integrar cos(2x):
integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x)
Então, substituindo de volta:
-x2 cos(2x) + 12 (12 sin(2x)) = -x2 cos(2x) + 14 sin(2x)

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de -pi a pi:
[-x2 cos(2x) + 14 sin(2x)]-pi^pi

Passo 7

Calculamos para x = pi:
-pi2 cos(2pi) + 14 sin(2pi) = -pi2 (1) + 14 (0) = -pi2
E para x = -pi:
-(-pi)2 cos(-2pi) + 14 sin(-2pi) = pi2 (1) + 14 (0) = pi2

Passo 8

Agora, subtraímos os valores:
-pi2 - (pi2) = -pi

Resposta

O valor da integral definida é -pi.

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