Calcule as seguintes integrais indefinidas usando as técnicas de integração: integral sin x raiz4-cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de sin x raiz4 - cos x em relação a x. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de integração como substituição. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olha só, dentro da raiz temos 4 - cos x. Vamos chamar isso de t:
t = 4 - cos x
Agora, precisamos encontrar a derivada de t em relação a x para fazer a substituição completa.

Passo 3

Derivando t em relação a x, temos:
dtdx = sin x
Isso significa que:
dt = sin x , dx
Perfeito, agora podemos substituir sin x , dx por dt na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral sin x raiz4 - cos x , dx = integral raizt , dt
Agora, a integral está muito mais simples e fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar raizt em relação a t. Sabemos que:
integral t^1/2 , dt = 23 t^3/2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos t de volta pela expressão original em termos de x:
23 t^3/2 + C = 23 (4 - cos x)^3/2 + C
Pronto, temos a antiderivada que procurávamos.

Resposta

A integral é igual a 23 (4 - cos x)^3/2 + C.

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