Calcule as seguintes integrais indefinidas usando as técnicas de integração:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de em relação a . Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, especificamente usando técnicas de integração como substituição. Vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olha só, dentro da raiz temos . Vamos chamar isso de :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para fazer a substituição completa.

Passo 3

Derivando em relação a , temos:
Isso significa que:
Perfeito, agora podemos substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, ficamos com:
Agora, a integral está muito mais simples e fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar em relação a . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta pela expressão original em termos de :
Pronto, temos a antiderivada que procurávamos.

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais indefinidas usando as técnicas de integração:
Seção 2.3: Exercícios 2, 9, 13, 19, 26, 27, 37, 40, 42, 50 .
Use o Teorema fundamental do cálculo para calcular as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais indefinidas usando as técnicas de integração: