Calcule as seguintes integrais.
(a) integral raiz1+x^2 d x
(b) integral raiz1-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver duas integrais aqui. A primeira é integral raiz1+x^2 , dx e a segunda é integral raiz1-4x^2 , dx. Vamos usar técnicas de substituição trigonométrica e entender um pouco das regras de integração para chegar nas respostas.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar com integral raiz1+x^2 , dx. Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que a expressão 1 + x^2 se assemelha à identidade hiperbólica, mas aqui vamos usar uma substituição trigonométrica.

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = sinh t, onde sinh t é a função seno hiperbólico. Com essa substituição, temos:
dx = cosh t , dt
E a raiz fica:
raiz1 + x^2 = raiz1 + sinh^2 t = cosh t

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com:
integral raiz1+x^2 , dx = integral cosh t cdot cosh t , dt = integral cosh^2 t , dt

Passo 5

Sabemos que cosh^2 t = 1 + cosh(2t)2. Então, a integral se torna:
integral 1 + cosh(2t)2 , dt = 12 integral 1 , dt + 12 integral cosh(2t) , dt

Passo 6

Integrando, temos:
12 t + 14 sinh(2t) + C
Agora, voltamos à variável original x usando x = sinh t, ou seja, t = sinh^-1(x). Além disso, sinh(2t) = 2sinh t cosh t = 2x raiz1 + x^2.

Passo 7

Substituindo de volta, a integral fica:
12 sinh^-1(x) + 12 x raiz1 + x^2 + C

Passo 8

Parte (b): Agora vamos resolver integral raiz1-4x^2 , dx. Aqui, vamos usar uma substituição trigonométrica diferente, já que a expressão dentro da raiz é 1 - (2x)^2.

Passo 9

Vamos fazer a substituição 2x = sin theta, então x = 12 sin theta e dx = 12 cos theta , dtheta.

Passo 10

A raiz fica:
raiz1 - 4x^2 = raiz1 - sin^2 theta = cos theta

Passo 11

Substituindo na integral:
integral raiz1-4x^2 , dx = integral cos theta cdot 12 cos theta , dtheta = 12 integral cos^2 theta , dtheta

Passo 12

Sabemos que cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2. Então:
12 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 14 integral 1 , dtheta + 14 integral cos(2theta) , dtheta

Passo 13

Integrando, temos:
14 theta + 18 sin(2theta) + C
Agora, substituímos theta de volta para x. Lembrando que theta = arcsin(2x) e sin(2theta) = 2sin theta cos theta = 2(2x)raiz1 - 4x^2 = 4x raiz1 - 4x^2.

Passo 14

Substituindo de volta, a integral fica:
14 arcsin(2x) + 12 x raiz1 - 4x^2 + C

Resposta

(a) integral raiz1+x^2 , dx = 12 x raiz1+x^2 + 12 sinh^-1(x) + C
(b) integral raiz1-4x^2 , dx = 14 arcsin(2x) + 12 x raiz1-4x^2 + C

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