Calcule as seguintes integrais.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver duas integrais aqui. A primeira é
e a segunda é
. Vamos usar técnicas de substituição trigonométrica e entender um pouco das regras de integração para chegar nas respostas.
Passo 2
Parte (a): Vamos começar com
. Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que a expressão
se assemelha à identidade hiperbólica, mas aqui vamos usar uma substituição trigonométrica.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
, onde
é a função seno hiperbólico. Com essa substituição, temos:
E a raiz fica:
Passo 4
Substituindo na integral, ficamos com:
Passo 5
Sabemos que
. Então, a integral se torna:
Passo 6
Integrando, temos:
Agora, voltamos à variável original
usando
, ou seja,
. Além disso,
.
Passo 7
Substituindo de volta, a integral fica:
Passo 8
Parte (b): Agora vamos resolver
. Aqui, vamos usar uma substituição trigonométrica diferente, já que a expressão dentro da raiz é
.
Passo 9
Vamos fazer a substituição
, então
e
.
Passo 10
A raiz fica:
Passo 11
Substituindo na integral:
Passo 12
Sabemos que
. Então:
Passo 13
Integrando, temos:
Agora, substituímos
de volta para
. Lembrando que
e
.
Passo 14
Substituindo de volta, a integral fica:
Resposta
(a)
(b)
Exercícios relacionados
Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
c)
c)
Usando a equação
, construa um quadro demonstrativo do consumo, quando a renda disponível (Yd) for $200; $250; $300;
Por definição, a propensão marginal a consumir: é igual a
;