Calcule as seguintes integrais.
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver duas integrais aqui. A primeira é e a segunda é . Vamos usar técnicas de substituição trigonométrica e entender um pouco das regras de integração para chegar nas respostas.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar com . Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que a expressão se assemelha à identidade hiperbólica, mas aqui vamos usar uma substituição trigonométrica.

Passo 3

Vamos fazer a substituição , onde é a função seno hiperbólico. Com essa substituição, temos:
E a raiz fica:

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com:

Passo 5

Sabemos que . Então, a integral se torna:

Passo 6

Integrando, temos:
Agora, voltamos à variável original usando , ou seja, . Além disso, .

Passo 7

Substituindo de volta, a integral fica:

Passo 8

Parte (b): Agora vamos resolver . Aqui, vamos usar uma substituição trigonométrica diferente, já que a expressão dentro da raiz é .

Passo 9

Vamos fazer a substituição , então e .

Passo 10

A raiz fica:

Passo 11

Substituindo na integral:

Passo 12

Sabemos que . Então:

Passo 13

Integrando, temos:
Agora, substituímos de volta para . Lembrando que e .

Passo 14

Substituindo de volta, a integral fica:

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados

Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.
c)
Usando a equação , construa um quadro demonstrativo do consumo, quando a renda disponível (Yd) for $200; $250; $300;
Por definição, a propensão marginal a consumir: é igual a ;