Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de integrais, substituição trigonométrica e triângulos retângulos.
Passo 2
Observamos que temos uma expressão do tipo
, onde
. Para integrar funções que contêm
, a substituição trigonométrica apropriada é
. Portanto, escolhemos:
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
para substituir
na integral:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Passo 6
Substituímos de volta na integral:
Simplificando:
Passo 7
Integramos
:
Passo 8
Agora, voltamos à variável original
. Sabemos que
, então podemos montar um triângulo retângulo onde a hipotenusa é
, o cateto adjacente é
e o cateto oposto é
. Assim:
Passo 9
Substituindo
de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral
é igual a
.