Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
(a) integral 1x^2 raizx^2-9 d x
(b) integral x^3 raiz9-x^2 d x
© integral x^3raizx^2+9 d x
(d) integral0^2 / 3 x^3 raiz4-9 x^2 d x
(f) integral d x(5-4 x-x^2)^5 / 2
(g) integralraiz23^2 / 3 d xx^5 raiz9 x^2-1

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral integral 1x^2 raizx^2-9 , dx usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de integrais, substituição trigonométrica e triângulos retângulos.

Passo 2

Observamos que temos uma expressão do tipo raizx^2 - a^2, onde a = 3. Para integrar funções que contêm raizx^2 - a^2, a substituição trigonométrica apropriada é x = a sec theta. Portanto, escolhemos:
x = 3 sec theta

Passo 3

Calculamos a derivada de x em relação a theta para substituir dx na integral:
dx = 3 sec theta tan theta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral 1(3 sec theta)^2 raiz(3 sec theta)^2 - 9 cdot 3 sec theta tan theta , dtheta

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz9 sec^2 theta - 9 = raiz9 (sec^2 theta - 1) = raiz9 tan^2 theta = 3 tan theta

Passo 6

Substituímos de volta na integral:
integral 19 sec^2 theta cdot 3 tan theta cdot 3 sec theta tan theta , dtheta = integral 19 sec^2 theta cdot 3 sec theta , dtheta
Simplificando:
integral 3 sec theta9 sec^2 theta , dtheta = integral 13 sec theta , dtheta = 13 integral cos theta , dtheta

Passo 7

Integramos cos theta:
13 sin theta + C

Passo 8

Agora, voltamos à variável original x. Sabemos que x = 3 sec theta, então podemos montar um triângulo retângulo onde a hipotenusa é x, o cateto adjacente é 3 e o cateto oposto é 3 tan theta. Assim:
sin theta = opostohipotenusa = raizx^2 - 9x

Passo 9

Substituindo sin theta de volta na expressão integrada:
13 cdot raizx^2 - 9x + C = raizx^2 - 93x + C

Resposta

A integral integral 1x^2 raizx^2-9 , dx é igual a raizx^2 - 93x + C.

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