Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.
c)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial que vamos resolver usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos conseguir isolar todas as partes com de um lado e todas as partes com do outro. Para isso, vamos precisar lembrar das definições das funções (tangente) e (secante), além de manipular álgebra para reorganizar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reorganizar a equação para separar as variáveis e . Vamos dividir ambos os lados da equação por para facilitar a separação:
Simplificando os termos, percebemos que alguns fatores se cancelam.

Passo 3

Vamos reescrever a equação de uma forma mais simples. Podemos dividir ambos os lados por para reduzir a equação:
Assim, ficamos com:

Passo 4

Agora, a equação está pronta para a separação de variáveis. Vamos dividir ambos os lados por e :
Mas na verdade, uma forma mais direta é integrar os dois lados separadamente:

Passo 5

Vamos lembrar que a integral de em relação a é ou . Então, aplicando isso às integrais:
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Igualando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar essa expressão agrupando as constantes:
Onde é uma nova constante.

Passo 7

Usando propriedades dos logaritmos, podemos combinar a diferença em um único logaritmo:
Para simplificar ainda mais, podemos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Como é apenas uma constante qualquer, podemos renomeá-la como :

Passo 8

Finalmente, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real qualquer.

Exercícios relacionados

Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
(a)
(b)
Calcule.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
Calcule as seguintes integrais.
(a)
(b)