Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial que vamos resolver usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos conseguir isolar todas as partes com
de um lado e todas as partes com
do outro. Para isso, vamos precisar lembrar das definições das funções
(tangente) e
(secante), além de manipular álgebra para reorganizar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Vamos dividir ambos os lados da equação por
para facilitar a separação:
Simplificando os termos, percebemos que alguns fatores se cancelam.
Passo 3
Vamos reescrever a equação de uma forma mais simples. Podemos dividir ambos os lados por
para reduzir a equação:
Assim, ficamos com:
Passo 4
Agora, a equação está pronta para a separação de variáveis. Vamos dividir ambos os lados por
e
:
Mas na verdade, uma forma mais direta é integrar os dois lados separadamente:
Passo 5
Vamos lembrar que a integral de
em relação a
é
ou
. Então, aplicando isso às integrais:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Igualando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar essa expressão agrupando as constantes:
Onde
é uma nova constante.
Passo 7
Usando propriedades dos logaritmos, podemos combinar a diferença em um único logaritmo:
Para simplificar ainda mais, podemos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Como
é apenas uma constante qualquer, podemos renomeá-la como
:
Passo 8
Finalmente, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real qualquer.
Exercícios relacionados
Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
(a)
(b)
(a)
(b)
Calcule.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
Calcule as seguintes integrais.
(a)
(b)
(a)
(b)