Calcule as seguintes integrais.
(a) integral raiz1+x^2 d x
(b) integral raiz1-4 x^2 d x
© integral raiz3+4 x^2 d x
(d) integral raizx^2+2 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas integrais juntos! O que temos aqui são integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica ou outras substituições que simplifiquem a integral. Vamos por partes!

(a)

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral . A expressão dentro da raiz é , que se parece com a identidade trigonométrica . Isso nos dá uma pista para usar substituição trigonométrica.

Passo 3

Vamos fazer a substituição integral raiz1 + tan^2(theta) cdot sec^2(theta) , dtheta . Assim, . Substituindo na integral:
Sabemos que .

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral sec(theta) cdot sec^2(theta) , dtheta = integral sec^3(theta) , dtheta
Integrar integral sec^3(theta) , dtheta = 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln |sec(theta) + tan(theta)| + C é um pouco trabalhoso, mas sabemos que:

Passo 5

Voltando à variável original 12 raiz1 + x^2 cdot x + 12 ln |x + raiz1 + x^2| + C , lembramos que , então . Também, e .
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Aqui temos uma expressão dentro da raiz, que se assemelha à identidade . Vamos usar uma substituição trigonométrica adequada.

Passo 7

Fazemos a substituição integral raiz1 - 4 (12 sin(theta))^2 cdot 12 cos(theta) , dtheta = integral raiz1 - sin^2(theta) cdot 12 cos(theta) , dtheta . Assim, .
Substituindo na integral:
Sabemos que .

Passo 8

A integral simplifica para:
integral cos(theta) cdot 12 cos(theta) , dtheta = 12 integral cos^2(theta) , dtheta
Para integrar 12 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 14 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta , usamos a identidade :

Passo 9

Integrando term por term:
14 ( theta + 12 sin(2theta) ) + C = theta4 + sin(2theta)8 + C

Passo 10

Voltando à variável sin^-1(2x)4 + 4x raiz1 - 4x^28 + C = sin^-1(2x)4 + x raiz1 - 4x^22 + C , lembramos que , então . Além disso, .
Substituindo de volta:

Passo 11

Vamos resolver agora . A expressão sugere que podemos fatorar para facilitar a substituição. Vamos usar uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples.

Passo 12

Primeiro, podemos fatorar o 3:
raiz3 + 4x^2 = raiz3 (1 + 43x^2) = raiz3 cdot raiz1 + (2xraiz3)^2
Isso se parece com a forma , para a qual já resolvemos uma integral anteriormente.

Passo 13

Fazemos a substituição raiz3 integral raiz1 + u^2 cdot raiz32 , du = 32 integral raiz1 + u^2 , du , então e .
Substituindo na integral:

Passo 14

Já sabemos que:
integral raiz1 + u^2 , du = 12 u raiz1 + u^2 + 12 ln | u + raiz1 + u^2 | + C
Então, multiplicando por 32 ( 12 u raiz1 + u^2 + 12 ln | u + raiz1 + u^2 | ) + C = 34 u raiz1 + u^2 + 34 ln | u + raiz1 + u^2 | + C :

Passo 15

Voltando à variável 34 cdot 2xraiz3 cdot raiz1 + (2xraiz3)^2 + 34 ln | 2xraiz3 + raiz1 + (2xraiz3)^2 | + C , lembramos que raiz32 x raiz3 + 4x^2 + 34 ln | 2xraiz3 + raiz1 + 4x^23 | + C :
Simplificando:

Passo 16

Por último, vamos resolver . Primeiramente, vamos completar o quadrado dentro da raiz para simplificar a expressão.

Passo 17

Completando o quadrado para x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1 :
integral raiz(x + 1)^2 + 1 , dx
Então, a integral se torna:

Passo 18

Agora, fazemos a substituição integral raizu^2 + 1 , du , então . A integral fica:
Essa forma é semelhante à integral que já resolvemos no item (a).

Passo 19

Sabemos que:
integral raizu^2 + 1 , du = 12 u raizu^2 + 1 + 12 sinh^-1(u) + C
Onde é a função seno hiperbólico inverso, que também pode ser escrita como .

Passo 20

Voltando à variável 12 (x + 1) raiz(x + 1)^2 + 1 + 12 ln | x + 1 + raiz(x + 1)^2 + 1 | + C , lembramos que :

Resposta

A integral 12 (x + 1) raiz(x + 1)^2 + 1 + 12 ln ( x + 1 + raiz(x + 1)^2 + 1 ) + C é igual a:

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