Calcule as seguintes integrais.
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas integrais juntos! O que temos aqui são integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica ou outras substituições que simplifiquem a integral. Vamos por partes!

(a)

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral . A expressão dentro da raiz é , que se parece com a identidade trigonométrica . Isso nos dá uma pista para usar substituição trigonométrica.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Assim, . Substituindo na integral:
Sabemos que .

Passo 4

Agora, a integral fica:
Integrar é um pouco trabalhoso, mas sabemos que:

Passo 5

Voltando à variável original , lembramos que , então . Também, e .
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Aqui temos uma expressão dentro da raiz, que se assemelha à identidade . Vamos usar uma substituição trigonométrica adequada.

Passo 7

Fazemos a substituição . Assim, .
Substituindo na integral:
Sabemos que .

Passo 8

A integral simplifica para:
Para integrar , usamos a identidade :

Passo 9

Integrando term por term:

Passo 10

Voltando à variável , lembramos que , então . Além disso, .
Substituindo de volta:

Passo 11

Vamos resolver agora . A expressão sugere que podemos fatorar para facilitar a substituição. Vamos usar uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples.

Passo 12

Primeiro, podemos fatorar o 3:
Isso se parece com a forma , para a qual já resolvemos uma integral anteriormente.

Passo 13

Fazemos a substituição , então e .
Substituindo na integral:

Passo 14

Já sabemos que:
Então, multiplicando por :

Passo 15

Voltando à variável , lembramos que :
Simplificando:

Passo 16

Por último, vamos resolver . Primeiramente, vamos completar o quadrado dentro da raiz para simplificar a expressão.

Passo 17

Completando o quadrado para :
Então, a integral se torna:

Passo 18

Agora, fazemos a substituição , então . A integral fica:
Essa forma é semelhante à integral que já resolvemos no item (a).

Passo 19

Sabemos que:
Onde é a função seno hiperbólico inverso, que também pode ser escrita como .

Passo 20

Voltando à variável , lembramos que :

Resposta

A integral é igual a:

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