Beleza, vamos resolver essas integrais juntos! O que temos aqui são integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica ou outras substituições que simplifiquem a integral. Vamos por partes!
(a)
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral . A expressão dentro da raiz é , que se parece com a identidade trigonométrica . Isso nos dá uma pista para usar substituição trigonométrica.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Assim, . Substituindo na integral:
Sabemos que .
Passo 4
Agora, a integral fica:
Integrar é um pouco trabalhoso, mas sabemos que:
Passo 5
Voltando à variável original , lembramos que , então . Também, e .
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral . Aqui temos uma expressão dentro da raiz, que se assemelha à identidade . Vamos usar uma substituição trigonométrica adequada.
Passo 7
Fazemos a substituição . Assim, .
Substituindo na integral:
Sabemos que .
Passo 8
A integral simplifica para:
Para integrar , usamos a identidade :
Passo 9
Integrando term por term:
Passo 10
Voltando à variável , lembramos que , então . Além disso, .
Substituindo de volta:
Passo 11
Vamos resolver agora . A expressão sugere que podemos fatorar para facilitar a substituição. Vamos usar uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples.
Passo 12
Primeiro, podemos fatorar o 3:
Isso se parece com a forma , para a qual já resolvemos uma integral anteriormente.
Passo 13
Fazemos a substituição , então e .
Substituindo na integral:
Passo 14
Já sabemos que:
Então, multiplicando por :
Passo 15
Voltando à variável , lembramos que :
Simplificando:
Passo 16
Por último, vamos resolver . Primeiramente, vamos completar o quadrado dentro da raiz para simplificar a expressão.
Passo 17
Completando o quadrado para :
Então, a integral se torna:
Passo 18
Agora, fazemos a substituição , então . A integral fica:
Essa forma é semelhante à integral que já resolvemos no item (a).
Passo 19
Sabemos que:
Onde é a função seno hiperbólico inverso, que também pode ser escrita como .