Calcule as seguintes integrais integral0^1 x e^-a x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da função que vão ser u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa técnica é útil quando temos uma integral que é produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = e^-a x , dx
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando du = ddx(x) , dx = 1 , dx :
v = integral e^-a x , dx = -1a e^-a x
Agora, vamos integrar para achar :
(Usamos a integral de que é , nesse caso .)

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^-a x , dx = uv - integral v , du = x (-1a e^-a x) - integral (-1a e^-a x) (1) , dx
Simplificando:
= -xa e^-a x + 1a integral e^-a x , dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral e^-a x , dx = -1a e^-a x + C
Então, substituindo de volta:
- xa e^-a x + 1a (-1a e^-a x) = -xa e^-a x - 1a^2 e^-a x

Passo 7

Agora, precisamos avaliar essa expressão entre os limites de 0 e 1:
[ -xa e^-a x - 1a^2 e^-a x ]0^1
Primeiro, substituindo - 1a e^-a - 1a^2 e^-a :
- 0a e^0 - 1a^2 e^0 = -1a^2
Depois, substituindo :

Passo 8

Subtraindo os valores:
( - 1a e^-a - 1a^2 e^-a ) - ( -1a^2 ) = -1a e^-a - 1a^2 e^-a + 1a^2
Fatorando 1a^2 (1 - (1 + a) e^-a) :

Resposta

A integral 1a^2 (1 - (1 + a) e^-a) é igual a:

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