Calcule as seguintes integrais
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da função que vão ser u e dv na fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Essa técnica é útil quando temos uma integral que é produto de duas funções, como é o caso aqui.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
Agora, vamos integrar
para achar
:
(Usamos a integral de
que é
, nesse caso
.)
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral restante:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, precisamos avaliar essa expressão entre os limites de 0 e 1:
Primeiro, substituindo
:
Depois, substituindo
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Fatorando
:
Resposta
A integral
é igual a: