Sean w=r^2+s v+t^3, r=x^2+y^2+z^2, s=x y z, v=x e^y y t=y z^2. Use la regla de la cadena para encontrar:
partial wpartial y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função composta , onde , , e também são funções de , e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial multivariável, especificamente o uso da regra da cadeia para encontrar derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia passo a passo, derivando cada parte da função em relação a .

Passo 2

Vamos identificar cada subfunção e suas dependências:
Nossa meta é encontrar , ou seja, a derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Primeiro, aplicamos a regra da cadeia para partial wpartial y = 2r cdot partial rpartial y + v cdot partial spartial y + s cdot partial vpartial y + 3t^2 cdot partial tpartial y :
Aqui, estamos derivando cada termo de em relação a e multiplicando pelas derivadas das subfunções.

Passo 4

Agora, vamos encontrar cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. r = x^2 + y^2 + z^2 Rightarrow partial rpartial y = 2y :
s = x y z Rightarrow partial spartial y = x z
  1. v = x e^y Rightarrow partial vpartial y = x e^y :
t = y z^2 Rightarrow partial tpartial y = z^2
  1. :
  1. :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas de volta na expressão original:
partial wpartial y = 2r cdot 2y + v cdot x z + s cdot x e^y + 3t^2 cdot z^2
Simplificando:
partial wpartial y = 4r y + x z v + s x e^y + 3 t^2 z^2

Passo 6

Por fim, substituímos as expressões de r = x^2 + y^2 + z^2, s = x y z, v = x e^y, t = y z^2 , partial wpartial y = 4(x^2 + y^2 + z^2) y + x z (x e^y) + (x y z) x e^y + 3 (y z^2)^2 z^2 , = 4y(x^2 + y^2 + z^2) + x^2 z e^y + x^2 y z e^y + 3 y^2 z^6 e de volta:
Substituindo na expressão de :
Simplificando cada termo:

Resposta

A derivada parcial de partial wpartial y = 4y(x^2 + y^2 + z^2) + x^2 z e^y + x^2 y z e^y + 3 y^2 z^6 em relação a é:

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