Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre limites, especificamente olhando o que acontece com a função quando $ x $ vai para o infinito. A função que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador, já que eles dominam o comportamento da função quando $ x $ fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador.
- No numerador: o termo de maior grau é $ 2x^{3} $.
- No denominador: o termo de maior grau é $ x^{2} $.
Esses termos vão determinar qual é o comportamento da função quando $ x $ cresce sem limites.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador e do denominador pelo maior poder de $ x $ presente no denominador, que é $ x^{2} $. Assim, temos:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com cada fração quando $ x $ tende ao infinito:
- $ \frac{4}{x^{2}} $ tende a 0.
- $ \frac{3}{x} $ tende a 0.
- $ \frac{1}{x^{2}} $ tende a 0.
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, simplificamos mais:
Quando $ x $ vai para o infinito, $ 2x - 1 $ também cresce sem limites. Ou seja, a função tende a $ +\infty $.