Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique.
lim x infty 2 x^3-x^2+4x^2+3 x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre limites, especificamente olhando o que acontece com a função quando $ x $ vai para o infinito. A função que vamos analisar é:
x
Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador, já que eles dominam o comportamento da função quando $ x $ fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador.
  • No numerador: o termo de maior grau é $ 2x^{3} $.
  • No denominador: o termo de maior grau é $ x^{2} $.
Esses termos vão determinar qual é o comportamento da função quando $ x $ cresce sem limites.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador e do denominador pelo maior poder de $ x $ presente no denominador, que é $ x^{2} $. Assim, temos:
x
Simplificando cada termo:
x^2

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada fração quando $ x $ tende ao infinito:
  • $ \frac{4}{x^{2}} $ tende a 0.
  • $ \frac{3}{x} $ tende a 0.
  • $ \frac{1}{x^{2}} $ tende a 0.
Então, a expressão fica:
x

Passo 5

Agora, simplificamos mais:
2x - 1
Quando $ x $ vai para o infinito, $ 2x - 1 $ também cresce sem limites. Ou seja, a função tende a $ +\infty $.

Resposta

lim x infty 2x^3 - x^2 + 4x^2 + 3x - 1 = +infty

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