Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de
. Sua altura após
segundos é dada por
.
a) Encontre a velocidade e a aceleração da pedra nos instantes
e
.
b) Em que instante a pedra atinge sua altura máxima?
c) Qual é a altura máxima atingida pela pedra?
d) Em que instante a pedra atinge o solo?
e) Qual é a velocidade da pedra quando ela atinge o solo?
a) Encontre a velocidade e a aceleração da pedra nos instantes
b) Em que instante a pedra atinge sua altura máxima?
c) Qual é a altura máxima atingida pela pedra?
d) Em que instante a pedra atinge o solo?
e) Qual é a velocidade da pedra quando ela atinge o solo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma pedra sendo lançada pra cima com uma velocidade inicial de
. A altura da pedra após
segundos é dada por
. A matéria envolvida aqui é o movimento uniformemente variado, onde usamos derivadas para encontrar a velocidade e aceleração. Vamos precisar calcular as derivadas da função
para resolver as questões.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da pedra. A velocidade é a derivada da altura em relação ao tempo. Então, derivando
:
Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes
e
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da pedra. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da altura:
Como a aceleração é constante, tanto em
quanto em
, ela é:
Passo 4
Vamos agora descobrir em que instante a pedra atinge a altura máxima. A altura máxima ocorre quando a velocidade é zero. Então, igualamos
a zero:
Passo 5
Para encontrar a altura máxima, substituímos
na função
:
Passo 6
Agora, vamos determinar em que instante a pedra atinge o solo novamente. Isso acontece quando
. Então, resolvemos a equação:
As soluções são
(instante do lançamento) e
segundos.
Passo 7
Por fim, vamos calcular a velocidade da pedra quando ela atinge o solo, ou seja, em
:
Resposta
a) As velocidades nos instantes
e
são
e
respectivamente. A aceleração é constante em
.
b) A pedra atinge sua altura máxima em
segundos.
c) A altura máxima atingida pela pedra é de
metros.
d) A pedra atinge o solo novamente em
segundos.
e) A velocidade da pedra quando ela atinge o solo é
.