Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 20 m / s. Sua altura após t segundos é dada por h(t)=20 t-5 t^2.
a) Encontre a velocidade e a aceleração da pedra nos instantes t=1 e t=3.
b) Em que instante a pedra atinge sua altura máxima?
c) Qual é a altura máxima atingida pela pedra?
d) Em que instante a pedra atinge o solo?
e) Qual é a velocidade da pedra quando ela atinge o solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma pedra sendo lançada pra cima com uma velocidade inicial de 20 , m/s. A altura da pedra após t segundos é dada por h(t) = 20t - 5t^2. A matéria envolvida aqui é o movimento uniformemente variado, onde usamos derivadas para encontrar a velocidade e aceleração. Vamos precisar calcular as derivadas da função h(t) para resolver as questões.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da pedra. A velocidade é a derivada da altura em relação ao tempo. Então, derivando h(t):
v(t) = dhdt = 20 - 10t
Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes t = 1 e t = 3:
Para t = 1:
v(1) = 20 - 10 times 1 = 10 , m/s
Para t = 3:
v(3) = 20 - 10 times 3 = -10 , m/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da pedra. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da altura:
a(t) = dvdt = -10 , m/s^2
Como a aceleração é constante, tanto em t = 1 quanto em t = 3, ela é:
a(1) = a(3) = -10 , m/s^2

Passo 4

Vamos agora descobrir em que instante a pedra atinge a altura máxima. A altura máxima ocorre quando a velocidade é zero. Então, igualamos v(t) a zero:
20 - 10t = 0 implies t = 2 , segundos

Passo 5

Para encontrar a altura máxima, substituímos t = 2 na função h(t):
h(2) = 20 times 2 - 5 times (2)^2 = 40 - 20 = 20 , metros

Passo 6

Agora, vamos determinar em que instante a pedra atinge o solo novamente. Isso acontece quando h(t) = 0. Então, resolvemos a equação:
20t - 5t^2 = 0 implies t(20 - 5t) = 0
As soluções são t = 0 (instante do lançamento) e t = 4 segundos.

Passo 7

Por fim, vamos calcular a velocidade da pedra quando ela atinge o solo, ou seja, em t = 4:
v(4) = 20 - 10 times 4 = 20 - 40 = -20 , m/s

Resposta

a) As velocidades nos instantes t = 1 e t = 3 são 10 , m/s e -10 , m/s respectivamente. A aceleração é constante em -10 , m/s^2.
b) A pedra atinge sua altura máxima em 2 segundos.
c) A altura máxima atingida pela pedra é de 20 metros.
d) A pedra atinge o solo novamente em 4 segundos.
e) A velocidade da pedra quando ela atinge o solo é -20 , m/s.

Exercícios relacionados