Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função $ f(x) = \frac{e^{x}}{x+1} $. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando $ x $ fica muito grande, muito pequeno ou se aproxima de certos valores que fazem o denominador zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas aparecem onde o denominador da fração é zero, porque aí a função tende ao infinito ou menos infinito. Então, resolvemos:
Então, temos uma possível assíntota vertical em $ x = -1 $. Para confirmar, verificamos o numerador nesse ponto:
Como o numerador não é zero quando o denominador é zero, realmente existe uma assíntota vertical em $ x = -1 $.
Passo 3
Agora, vamos para as assíntotas horizontais. Elas acontecem quando $ x $ tende a mais infinito ($ +\infty
-\infty $), e a função se aproxima de algum valor constante.
Primeiro, analisamos o limite quando $ x $ vai para $ +\infty $:
Aqui, $ e^{x} $ cresce muito mais rápido que qualquer polinômio como $ x + 1 $, então o limite é $ +\infty $. Isso significa que não há assíntota horizontal nesse caso.
Agora, verificamos o limite quando $ x $ vai para $ -\infty $:
Quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ e^{x} $ se aproxima de 0, enquanto $ x + 1 $ fica muito negativo. Então, o limite é 0:
Isso nos mostra que existe uma assíntota horizontal em $ y = 0 $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{e^{x}}{x + 1} $ possui:
- Assíntota vertical: $ x = -1 $
- Assíntota horizontal: $ y = 0 $