Calcule os seguintes limites:
d.
.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente analisando o comportamento da função quando
se aproxima de 0 pela direita (valores positivos próximos de zero). Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções
e
quando
tende a 0.
Passo 2
Vamos analisar cada parte da expressão separadamente para facilitar:
-
Primeira parte:Quando
se aproxima de 0 pela direita, também se aproxima de 0, então tende a . Isso porque estamos dividindo 1 por um número cada vez menor, resultando em valores maiores e maiores. -
Segunda parte:A função logaritmo natural,
, quando se aproxima de 0 pela direita, tende a . Isso ocorre porque o logaritmo de números muito pequenos (próximos de zero) são valores negativos grandes.
Passo 3
Agora, precisamos combinar esses comportamentos. Temos uma parte que tende a
e outra que tende a
. Então, a expressão geral é uma soma de infinitos de sinais opostos:
Nesse caso, precisamos entender qual dessas infinidades “ganha”.
Passo 4
Para comparar qual das duas partes cresce mais rapidamente, vamos analisar as taxas de crescimento quando
tende a 0:
-
cresce para de forma proporcional a . -
tende a de forma logarítmica, ou seja, cresce mais lentamente.
Como a parte
cresce muito mais rapidamente para
do que a parte
decresce para
, o comportamento dominante é o de
.
Passo 5
Portanto, mesmo somando uma quantidade que vai para
, a parte que vai para
domina a expressão total. Assim, o limite geral será:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
b. .
b.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
b. .
b.
Por que estes fatos não contrariam a regra de l