Calcule os seguintes limites:
d. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente analisando o comportamento da função quando se aproxima de 0 pela direita (valores positivos próximos de zero). Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções e quando tende a 0.

Passo 2

Vamos analisar cada parte da expressão separadamente para facilitar:
  1. Primeira parte:
    Quando se aproxima de 0 pela direita, também se aproxima de 0, então tende a . Isso porque estamos dividindo 1 por um número cada vez menor, resultando em valores maiores e maiores.
  2. Segunda parte:
    A função logaritmo natural, , quando se aproxima de 0 pela direita, tende a . Isso ocorre porque o logaritmo de números muito pequenos (próximos de zero) são valores negativos grandes.

Passo 3

Agora, precisamos combinar esses comportamentos. Temos uma parte que tende a e outra que tende a . Então, a expressão geral é uma soma de infinitos de sinais opostos:
Nesse caso, precisamos entender qual dessas infinidades “ganha”.

Passo 4

Para comparar qual das duas partes cresce mais rapidamente, vamos analisar as taxas de crescimento quando tende a 0:
  • cresce para de forma proporcional a .
  • tende a de forma logarítmica, ou seja, cresce mais lentamente.
Como a parte cresce muito mais rapidamente para do que a parte decresce para , o comportamento dominante é o de .

Passo 5

Portanto, mesmo somando uma quantidade que vai para , a parte que vai para domina a expressão total. Assim, o limite geral será:

Resposta

O limite é .

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Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
b. .
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
b. .
Por que estes fatos não contrariam a regra de l