Passo 1
Beleza, vamos resolver o seguinte limite:
Esse exercício está relacionado com limites e funções trigonométricas, especialmente a função cosecante. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a cosecante é o inverso do seno. Ou seja:
Então, nosso limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo individualmente conforme
se aproxima de zero:
-
tende para porque o denominador fica muito pequeno. -
também tende para , já que se aproxima de zero.
Então, temos uma forma
, que é indeterminada. Precisamos simplificar para entender melhor.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão combinando os termos em um único denominador:
Agora, nosso limite é:
Passo 5
Para facilitar, usaremos a série de Taylor para aproximar
próximo de zero:
Substituindo na expressão do numerador:
E no denominador:
Passo 6
Agora, simplificamos a fração:
À medida que
tende a zero, as parcelas com
e potências superiores tornam-se desprezíveis.
Passo 7
Portanto, o comportamento da expressão é dominado por
, que tende para
. As demais parcelas não afetam esse resultado no limite.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
d. .
d.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
b. .
b.
Por que estes fatos não contrariam a regra de l
(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
c.
c.