Passo 1

Beleza, vamos resolver o seguinte limite:
Esse exercício está relacionado com limites e funções trigonométricas, especialmente a função cosecante. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a cosecante é o inverso do seno. Ou seja:
Então, nosso limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo individualmente conforme se aproxima de zero:
  • tende para porque o denominador fica muito pequeno.
  • também tende para , já que se aproxima de zero.
Então, temos uma forma , que é indeterminada. Precisamos simplificar para entender melhor.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão combinando os termos em um único denominador:
Agora, nosso limite é:

Passo 5

Para facilitar, usaremos a série de Taylor para aproximar próximo de zero:
Substituindo na expressão do numerador:
E no denominador:

Passo 6

Agora, simplificamos a fração:
À medida que tende a zero, as parcelas com e potências superiores tornam-se desprezíveis.

Passo 7

Portanto, o comportamento da expressão é dominado por , que tende para . As demais parcelas não afetam esse resultado no limite.

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
d. .
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
b. .
Por que estes fatos não contrariam a regra de l
(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
c.