lim x 0^+ 1x^2-cossec(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o seguinte limite:
lim x 0^+ ( 1x^2 - csc(x) )
Esse exercício está relacionado com limites e funções trigonométricas, especialmente a função cosecante. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a cosecante é o inverso do seno. Ou seja:
csc(x) = 1sin(x)
Então, nosso limite fica:
lim x 0^+ ( 1x^2 - 1sin(x) )

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo individualmente conforme se aproxima de zero:
  • tende para porque o denominador fica muito pequeno.
  • também tende para , já que se aproxima de zero.
Então, temos uma forma , que é indeterminada. Precisamos simplificar para entender melhor.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão combinando os termos em um único denominador:
1x^2 - 1sin(x) = sin(x) - x^2x^2 cdot sin(x)
Agora, nosso limite é:
lim x 0^+ sin(x) - x^2x^2 cdot sin(x)

Passo 5

Para facilitar, usaremos a série de Taylor para aproximar sin(x) = x - x^36 + x^5120 - dots próximo de zero:
sin(x) - x^2 = (x - x^36 + dots ) - x^2 = x - x^2 - x^36 + dots
Substituindo na expressão do numerador:
x^2 cdot sin(x) = x^2 (x - x^36 + dots ) = x^3 - x^56 + dots
E no denominador:

Passo 6

Agora, simplificamos a fração:
x - x^2 - x^36 + dotsx^3 - x^56 + dots = 1x^2 cdot 1 - x - x^26 + dots1 - x^26 + dots
À medida que tende a zero, as parcelas com e potências superiores tornam-se desprezíveis.

Passo 7

Portanto, o comportamento da expressão é dominado por , que tende para . As demais parcelas não afetam esse resultado no limite.

Resposta

+infty

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