Calcule os seguintes limites:
7. lim x +infty raizx+raizx+raizxraizx+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de uma fração envolvendo raízes quadradas quando limx to +infty raizx + raizx + raizxraizx + 1 tende ao infinito. O enunciado é:
Vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções de raiz para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, observe que quando fica muito grande, termos como também crescem, mas mais devagar que em si. Então, vamos simplificar as raízes passo a passo.

Passo 3

Começamos pela parte interna da raiz no numerador:
raizx + raizx approx raizx (1 + raizx2x) = raizx + 12
Isso porque, para grande, .

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação de volta na raiz do numerador:
raizx + raizx + raizx approx raizx + (raizx + 12) = raizx + raizx + 12

Passo 5

Novamente, aplicamos a mesma ideia para simplificar:
raizx + raizx + 12 approx raizx (1 + raizx + 122x) = raizx + 12 + 14raizx

Passo 6

Agora, vamos analisar o denominador:
raizx + 1 approx raizx (1 + 12x) = raizx + 12raizx

Passo 7

Com as aproximações do numerador e denominador, montamos a fração:
raizx + 12 + 14raizxraizx + 12raizx

Passo 8

Dividindo todas as partes por 1 + 12raizx + 14x1 + 12x para simplificar:

Passo 9

Agora, ao deixar 1 + 0 + 01 + 0 = 1 tender ao infinito, os termos com , e similares vão a zero:

Resposta

O limite é igual a .

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