Calcule os seguintes limites:
8. lim x +infty x^13[(x+1)^23-(x-1)^23].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve potências e crescimento infinito. O que a gente precisa fazer aqui é analisar como a expressão se comporta quando vai para mais infinito, usando conhecimentos de limites e propriedades de potências.

Passo 2

Primeiro, observe que e são termos semelhantes. Quando é muito grande, somar ou subtrair 1 não muda muito o valor de . Então, podemos aproximar essas expressões para facilitar o cálculo.

Passo 3

Vamos usar uma propriedade de aproximação para potências. Para grandes valores de (x pm 1)^23 approx x^23 pm 23 x^-13 , podemos escrever:
Isso acontece porque estamos expandindo em série de Taylor e considerando apenas os termos principais.

Passo 4

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:
(x+1)^23 - (x-1)^23 approx (x^23 + 23 x^-13) - (x^23 - 23 x^-13)
Simplificando essa diferença:
x^23 + 23 x^-13 - x^23 + 23 x^-13 = 43 x^-13

Passo 5

Agora, vamos multiplicar esse resultado por x^13 cdot 43 x^-13 = 43 x^13 - 13 = 43 x^0 = 43 :
Já que qualquer número elevado a 0 é 1.

Resposta

O limite é igual a .

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