Calcule os seguintes limites:
4. lim x pm infty raizx^2+1+3 x2 x-5.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando tende para da função . Esse exercício envolve conceitos de limites no infinito e manipulação de expressões com radicais e polinômios. Vamos precisar simplificar a expressão para entender o comportamento dela conforme cresce ou diminui sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Quando se torna muito grande (positivamente ou negativamente), o termo domina sobre o 1 dentro da raiz. Então, podemos aproximar por . Como estamos considerando tendendo para , será igual a para positivo e a para negativo.

Passo 3

Vamos reescrever a função considerando essa aproximação:
  • Para raizx^2 + 1 approx x :
    x + 3x2x - 5 = 4x2x - 5
    Então, a função fica:
    raizx^2 + 1 approx -x
  • Para -x + 3x2x - 5 = 2x2x - 5 :
    Então, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada caso:
  • Para 4x2x - 5 = 4x2x (1 - 52x) = 42 (1 - 52x) approx 42 = 2 :
    2x2x - 5 = 2x2x (1 - 52x) = 22 (1 - 52x) approx 22 = 1
    Quando tende para , o termo tende a 0, simplificando a expressão para 2.
  • Para :
    Quando tende para , novamente o termo tende a 0, simplificando a expressão para 1.

Resposta

lim x +infty raizx^2+1+3x2x-5 = 2 e lim x -infty raizx^2+1+3x2x-5 = 1

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