Calcule a segunda derivada de
em
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a segunda derivada da função
no ponto
. Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas, especialmente a regra da cadeia e a regra do produto. Vamos precisar lembrar como diferenciar funções compostas e aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função é uma composição de
, onde
. Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
é
multiplicado pela derivada de
.
Aqui, derivamos
e obtemos
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Precisamos derivar
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Primeiro, derivamos
usando a regra da cadeia:
Então, substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos avaliar
no ponto
:
Para calcular isso, substituímos os valores numéricos:
Substituindo esses valores:
Resposta
A segunda derivada de
em
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
O domínio de
;
Calcule a primeira derivada de
em
.
Determine a equação da reta tangente a curva
no ponto
.
As assíntotas ao gráfico de
;