Calcule a segunda derivada de em .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a segunda derivada da função no ponto . Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas, especialmente a regra da cadeia e a regra do produto. Vamos precisar lembrar como diferenciar funções compostas e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é uma composição de , onde . Aplicando a regra da cadeia, a derivada de é multiplicado pela derivada de .
Aqui, derivamos e obtemos .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Precisamos derivar . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Primeiro, derivamos usando a regra da cadeia:
Então, substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos avaliar no ponto :
Para calcular isso, substituímos os valores numéricos:
Substituindo esses valores:

Resposta

A segunda derivada de em é aproximadamente .

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O domínio de ;
Calcule a primeira derivada de em .
Determine a equação da reta tangente a curva no ponto .
As assíntotas ao gráfico de ;