Determine a equação da reta tangente a curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas implícitas. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação a . Como é uma função de , vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de é . A derivada de em relação a é . Para o lado direito, a derivada de é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver para (a derivada de em relação a , que representa a inclinação da reta tangente). Vamos isolar os termos com :
Fatorando :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando a fração:

Passo 4

Agora, vamos substituir o ponto na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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