Determine a equação da reta tangente a curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente, derivadas implícitas. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação
em relação a
. Como
é uma função de
, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de
é
. A derivada de
em relação a
é
. Para o lado direito, a derivada de
é
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
(a derivada de
em relação a
, que representa a inclinação da reta tangente). Vamos isolar os termos com
:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a fração:
Passo 4
Agora, vamos substituir o ponto
na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
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Calcule a segunda derivada de
em
.
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;
As assíntotas ao gráfico de
;