Calcule a temperatura da superficie isolada
numa placa de espessura
, difusividade térmica
e condutividade térmica
admitindo
e g
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a temperatura na superfície isolada de uma placa após 2 horas. A placa tem uma espessura de 10 cm, difusividade térmica de $ \alpha = 10^{-6} , m^2/s $, e condutividade térmica de $ k = 1 , W/(m \cdot ^\circC) $. A temperatura inicial é $ T_0 = 200^\circC $ e tem uma geração de calor $ g_0 = 10^s , W/m^3 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor com geração interna, que é parte da transferência de calor em materiais sólidos. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a equação que descreve a condução de calor com geração interna. A equação geral é:
Onde:
- $ T $ é a temperatura,
- $ t $ é o tempo,
- $ \alpha $ é a difusividade térmica,
- $ x $ é a posição na placa,
- $ g_0 $ é a geração de calor volumétrica,
- $ \rho $ é a densidade do material,
- $ c_p $ é a capacidade térmica específica.
No nosso caso, como não temos valores para $ \rho $ e $ c_p $, vamos supor que a geração de calor já está incorporada na equação simplificada:
Passo 3
Agora, vamos considerar as condições de contorno. A placa é isolada na superfície, o que significa que não há fluxo de calor passando por ela. Matematicamente, isso é representado por:
E na outra extremidade, temos uma condição de temperatura inicial $ T = T_0 $.
Passo 4
Para resolver a equação diferencial parcial, vamos usar a solução de Fourier para um problema de condução de calor com geração interna. A solução geral para a temperatura em função do tempo e da posição é:
Onde:
- $ L $ é a espessura da placa,
- $ x $ é a posição na placa,
- $ t $ é o tempo.
Passo 5
Como queremos a temperatura na superfície isolada após 2 horas, vamos substituir $ x = L $ e $ t = 2 , h $ na equação.
Primeiro, convertemos 2 horas para segundos, já que a difusividade térmica está em $ m^2/s $:
Agora, substituímos os valores na equação:
Passo 6
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, substituímos de volta:
Resposta
A temperatura na superfície isolada após 2 horas é: