Calcule a temperatura da superficie isolada em t=2 h numa placa de espessura L=10 cm, difusividade térmica alpha=10^-6 m^2 / s e condutividade térmica k=1 W / m ^circ C admitindo T0=200 ^circ C e g 0=10^s W / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular a temperatura na superfície isolada de uma placa após 2 horas. A placa tem uma espessura de 10 cm, difusividade térmica de $ \alpha = 10^{-6} , m^2/s $, e condutividade térmica de $ k = 1 , W/(m \cdot ^\circC) $. A temperatura inicial é $ T_0 = 200^\circC $ e tem uma geração de calor $ g_0 = 10^s , W/m^3 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor com geração interna, que é parte da transferência de calor em materiais sólidos. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação que descreve a condução de calor com geração interna. A equação geral é:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2 + g0rho cp
Onde:
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ t $ é o tempo,
  • $ \alpha $ é a difusividade térmica,
  • $ x $ é a posição na placa,
  • $ g_0 $ é a geração de calor volumétrica,
  • $ \rho $ é a densidade do material,
  • $ c_p $ é a capacidade térmica específica.
No nosso caso, como não temos valores para $ \rho $ e $ c_p $, vamos supor que a geração de calor já está incorporada na equação simplificada:
T

Passo 3

Agora, vamos considerar as condições de contorno. A placa é isolada na superfície, o que significa que não há fluxo de calor passando por ela. Matematicamente, isso é representado por:
partial Tpartial x |x=0 = 0
E na outra extremidade, temos uma condição de temperatura inicial $ T = T_0 $.

Passo 4

Para resolver a equação diferencial parcial, vamos usar a solução de Fourier para um problema de condução de calor com geração interna. A solução geral para a temperatura em função do tempo e da posição é:
T(x,t) = T0 + g0 L^22k ( 1 - cos(pi xL) ) (1 - e^-alpha (piL)^2 t)
Onde:
  • $ L $ é a espessura da placa,
  • $ x $ é a posição na placa,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 5

Como queremos a temperatura na superfície isolada após 2 horas, vamos substituir $ x = L $ e $ t = 2 , h $ na equação.
Primeiro, convertemos 2 horas para segundos, já que a difusividade térmica está em $ m^2/s $:
x = L
Agora, substituímos os valores na equação:
t = 2 , h

Passo 6

Simplificando os termos:
cos(pi) = -1 Rightarrow 1 - cos(pi) = 2
(pi0.10)^2 = (31.4159)^2 approx 986.96
alpha times 986.96 times 7200 = 10^-6 times 986.96 times 7200 approx 7.118
1 - e^-7.118 approx 1 - 0.00081 = 0.99919

Passo 7

Agora, substituímos de volta:
T(L,7200) = 200 + 10^s times 0.012 times 2 times 0.99919
T(L,7200) = 200 + 10^s times 0.01 times 0.99919
T(L,7200) = 200 + 0.0099919 times 10^s

Resposta

A temperatura na superfície isolada após 2 horas é:
T = 200 + 0.0099919 times 10^s , ^circC

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