Calcule o tempo necessário para carregar o capacitor descarregado de 8,0 pF, num circuito LC no qual a tensão máxima é de 1,0 m V e a corrente máxima é de 50 mA .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisamos calcular o tempo que leva para carregar um capacitor de 8,0 pF em um circuito LC. A tensão máxima que o capacitor alcança é de 1,0 mV e a corrente máxima no circuito é de 50 mA. Vamos usar conceitos de circuitos LC para resolver isso, então vamos precisar entender um pouco sobre os movimentos de corrente e tensão nesse tipo de circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito LC (Indutor e Capacitor), a energia oscila entre o indutor e o capacitor. A tensão no capacitor e a corrente no circuito variam com o tempo de forma oscilatória. As equações que descrevem essa oscilação são:
V(t) = Vmax cdot sin(omega t)
I(t) = Imax cdot cos(omega t)
Onde:
  • é a tensão no capacitor no instante
  • é a corrente no circuito no instante
  • é a tensão máxima
  • é a corrente máxima
  • é a frequência angular, dada por

Passo 3

Como o capacitor começa descarregado, ou seja, V(t) = Vmax cdot sin(omega t) , isso significa que a fase inicial I(t) = Imax cdot cos(omega t) é zero. Portanto, as equações simplificam para:
Queremos encontrar o tempo quando a tensão no capacitor atinge seu valor máximo, .

Passo 4

A tensão no capacitor atinge seu valor máximo quando t = pi2omega . Isso acontece quando t = pi2 cdot raizLC . Assim, podemos resolver para :
Sabemos que , então substituindo:

Passo 5

Mas ainda não temos o valor de Vmax = Imaxomega C (indutância). Podemos relacionar raizLC = ImaxVmax e t = pi2 cdot ImaxVmax usando a seguinte relação:
Rearranjando para encontrar :
Agora, substituindo na expressão de :

Passo 6

Vamos agora substituir os valores fornecidos:
Imax = 50,mA = 50 times 10^-3,A
Vmax = 1,0,mV = 1,0 times 10^-3,V
Substituindo na fórmula:
t = pi2 cdot 50 times 10^-3,A1,0 times 10^-3,V = pi2 cdot 50 = 25pi
Calculando o valor numérico:
t approx 25 times 3,1416 approx 78,54,segundos

Resposta

O tempo necessário para carregar o capacitor é aproximadamente 78,5 segundos.

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