Num circuito
amortecido, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação caia à metade da energia máxima presente durante a primeira oscilação. Suponha
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito LC amortecido. Isso significa que temos um circuito que contém um indutor (L) e um capacitor © com alguma resistência que causa amortecimento. A pergunta quer saber quanto tempo leva para a energia máxima no capacitor cair para metade do que era na primeira oscilação. Vamos precisar usar conceitos de energia em circuitos LC e como ela se comporta quando há amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada no capacitor. A energia (
) armazenada em um capacitor é dada por:
onde
é a carga no capacitor e
a capacitância.
Passo 3
Como o circuito é amortecido, a energia não permanece constante. Ela diminui com o tempo de forma exponencial. A equação que descreve essa perda de energia é:
Aqui,
é a energia inicial e
é a constante de amortecimento.
Passo 4
Queremos que a energia no capacitor caia para metade da inicial. Então, queremos encontrar
tal que:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Cancelando os sinais negativos:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Agora, precisamos expressar
em termos dos componentes do circuito LC amortecido. A constante de amortecimento
é dada por:
onde
é a resistência e
a indutância.
Passo 7
Substituindo
na equação de
:
Resposta
O tempo necessário para que a energia máxima no capacitor caia para metade da inicial é:
Exercícios relacionados
Calcule o tempo necessário para carregar o capacitor descarregado de
, num circuito LC no qual a tensão máxima é de
e a corrente máxima é de 50 mA .
Dado um indutor de
, como você conseguiria fazê-lo oscilar a
Hz ).
Um capacitor de capacitância
possui carga
e é carregado através de uma bobina de indutância L. Despreze a resistência neste circuito
. Estimar: (a) a energia elétrica instantânea, (b) a energia magnética instantânea, © a energia elétrica média, (d) a energia magnética média.
Algumas bactérias (como por exemplo a Aquaspirillum magnetotacticum) tendem a nadar em direção ao polo norte geográfico da Terra pois elas contém pequenas partículas, chamadas de magnetossomos, que são sensíveis à campos magnéticos. Se uma linha de transmissão carregando I=137,02 A é colocada sob a água, até que distância da linha o seu campo magnético seria suficiente para interferir com a migração das bactérias? Assuma que um campo menor do que
porcento do campo magnético da Terra
tem efeito desprezível na bactéria. Dê sua resposta em metros.