Num circuito L C amortecido, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação caia à metade da energia máxima presente durante a primeira oscilação. Suponha q=q max em t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito LC amortecido. Isso significa que temos um circuito que contém um indutor (L) e um capacitor © com alguma resistência que causa amortecimento. A pergunta quer saber quanto tempo leva para a energia máxima no capacitor cair para metade do que era na primeira oscilação. Vamos precisar usar conceitos de energia em circuitos LC e como ela se comporta quando há amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada no capacitor. A energia ( E = 12 q^2C ) armazenada em um capacitor é dada por:
onde é a carga no capacitor e a capacitância.

Passo 3

Como o circuito é amortecido, a energia não permanece constante. Ela diminui com o tempo de forma exponencial. A equação que descreve essa perda de energia é:
E(t) = E0 e^-bt
Aqui, é a energia inicial e é a constante de amortecimento.

Passo 4

Queremos que a energia no capacitor caia para metade da inicial. Então, queremos encontrar E02 = E0 e^-bt tal que:
12 = e^-bt
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos resolver para ln(12) = -bt . Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
-ln(2) = -bt
Sabemos que ln(2) = bt , então:
Cancelando os sinais negativos:

Passo 6

Finalmente, isolamos t = ln(2)b :
b = R2L
Agora, precisamos expressar em termos dos componentes do circuito LC amortecido. A constante de amortecimento é dada por:
onde é a resistência e a indutância.

Passo 7

Substituindo t = ln(2)R2L = 2L ln(2)R na equação de :

Resposta

O tempo necessário para que a energia máxima no capacitor caia para metade da inicial é:
t = 2L ln(2)R

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