Um capacitor de capacitância C possui carga q max e é carregado através de uma bobina de indutância L. Despreze a resistência neste circuito L C. Estimar: (a) a energia elétrica instantânea, (b) a energia magnética instantânea, © a energia elétrica média, (d) a energia magnética média.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito LC, que é composto por um capacitor com capacitância e uma bobina com indutância . A carga máxima no capacitor é . A gente vai precisar entender como a energia elétrica e magnética se comportam nesse sistema sem considerar a resistência. Vamos estimar quatro coisas: a energia elétrica instantânea, a energia magnética instantânea, e as médias de cada uma dessas energias ao longo do tempo.

Passo 2

(a) Energia elétrica instantânea
Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada num capacitor é dada por:
Ue = q^22C
Aqui, q(t) = qmax cos(omega t) é a carga no capacitor no instante considerado. No circuito LC, a carga varia com o tempo de forma senoidal, então podemos escrever:
omega = 1raizLC
Onde Ue(t) = (qmax cos(omega t))^22C = qmax^22C cos^2(omega t) é a frequência angular do sistema, dada por:
Substituindo na expressão da energia elétrica:

Passo 3

(b) Energia magnética instantânea
A energia armazenada na bobina (indutor) é:
Um = L i^22
A corrente i(t) = dqdt = -qmax omega sin(omega t) no circuito LC também varia com o tempo e está relacionada à derivada da carga:
Um(t) = L (-qmax omega sin(omega t))^22 = L qmax^2 omega^22 sin^2(omega t)
Substituindo Um(t) = qmax^22C sin^2(omega t) na expressão da energia magnética:
Como , a expressão fica:

Passo 4

© Energia elétrica média
Para encontrar a energia elétrica média ao longo do tempo, calculamos a média de lang<= Ue rang<= = qmax^22C cdot 12 = qmax^24C , que é :

Passo 5

(d) Energia magnética média
Similarmente, para a energia magnética média, calculamos a média de lang<= Um rang<= = qmax^22C cdot 12 = qmax^24C , que também é :

Resposta

(a) A energia elétrica instantânea é .
(b) A energia magnética instantânea é .
© A energia elétrica média é .
(d) A energia magnética média é .

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