Calcule em termos dos dados e da aceleração da gravidade,
:
(b) o módulo da força de atrito da rampa sobre o cilindro. O atrito é estático (rola sem deslizar), mas não está em seu valor máximo e o coeficiente de atrito não é fornecido.
(b) o módulo da força de atrito da rampa sobre o cilindro. O atrito é estático (rola sem deslizar), mas não está em seu valor máximo e o coeficiente de atrito não é fornecido.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede para calcular, em termos dos dados fornecidos e da aceleração da gravidade
, o módulo da força de atrito que a rampa exerce sobre um cilindro. Sabemos que o atrito é estático, ou seja, o cilindro está rolando sem deslizar, mas esse atrito não está no seu valor máximo, e a gente não tem o coeficiente de atrito disponível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e dinâmica rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas forças atuando no cilindro. Em uma rampa inclinada com ângulo
, as principais forças são:
-
Força peso (
): age verticalmente para baixo e pode ser decomposta em duas componentes: -
: paralela à rampa. -
: perpendicular à rampa.
-
-
Força normal (
): perpendicular à rampa, igual à componente perpendicular do peso, ou seja, . -
Força de atrito estático (
): age na direção oposta ao movimento, evitando que o cilindro deslize.
Passo 3
Como o cilindro está rolando sem deslizar, temos que considerar a rotação. A força de atrito estático
não só impede o deslizamento, mas também gera um torque que causa a rotação do cilindro. Para relacionar a força de atrito com a aceleração, usamos as equações de Newton para translação e rotação.
Passo 4
Equação de Newton para a tradução:
Onde
é a aceleração linear do cilindro.
Equação de Newton para a rotação:
Aqui,
é o raio do cilindro,
é o momento de inércia, e
é a aceleração angular. Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
Como o cilindro está rolando sem deslizar, a relação entre a aceleração linear e angular é:
Substituindo isso na equação de rotação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos a expressão de
na equação de translação:
Resolvendo para
:
Passo 6
Com a aceleração
encontrada, podemos determinar a força de atrito
:
Simplificando:
Resposta
O módulo da força de atrito da rampa sobre o cilindro é:
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