-Um carro viaja atrás de um caminhão lento, ambos à velocidade constante
, em uma estrada de mão dupla. A distância do carro até a dianteira do caminhh̆o é
. Em dado instante, o carro entra no início de uma reta e seu motorista avista um carro vindo na direçăo oposta à velocidade constante
, a uma distân cia
. O motorista imprime ao carro uma aceleracão constante a para realizar a ultrapassagem. Qual é
valor mínimo de
para que a ultrapassagem seja bem-sucedida? Despreze o comprimento do carro.
valor mínimo de
Passo 1
Vamos lá! Temos um carro que está atrás de um caminhão lento, ambos se movendo a uma velocidade constante
. A distância entre o carro e a frente do caminhão é
. De repente, o carro entra em uma reta e o motorista vê um carro vindo na direção oposta a uma velocidade constante
e a uma distância
. Para ultrapassar com segurança, o motorista decide acelerar com uma aceleração constante
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor mínimo dessa aceleração
para que a ultrapassagem seja bem-sucedida.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especialmente relacionados a movimentos uniformemente acelerados e relativos de dois objetos em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação. O carro precisa ultrapassar o caminhão e, ao mesmo tempo, não pode se encontrar com o carro que está vindo na direção oposta. Isso significa que o tempo que o carro leva para ultrapassar o caminhão deve ser menor ou igual ao tempo que o carro vindo na direção oposta leva para chegar ao ponto onde a ultrapassagem ocorre.
Passo 3
Vamos calcular o tempo que o carro leva para ultrapassar o caminhão. Para isso, precisamos considerar que o carro está acelerando. A distância que o carro precisa percorrer para ultrapassar completamente o caminhão é
. Usando a equação do movimento uniformemente acelerado:
Onde:
-
é a distância a ser percorrida, -
é a velocidade inicial do carro, -
é a aceleração, -
é o tempo.
Vamos resolver essa equação para o tempo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o tempo que o carro vindo na direção oposta leva para alcançar o ponto de ultrapassagem. A distância que esse carro precisa percorrer é
, e ele está se movendo a uma velocidade constante
. Então, o tempo
que ele leva para chegar até o ponto é:
Portanto:
Passo 5
Para que a ultrapassagem seja bem-sucedida, o tempo que o carro leva para ultrapassar o caminhão
deve ser menor ou igual ao tempo que o carro vindo oposto leva para chegar ao ponto
:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 6
Voltando à equação do movimento do carro que est�� ultrapassando:
Queremos encontrar o valor mínimo de
que satisfaz a condição
. Vamos substituir
por
na equação acima:
Passo 7
Agora, isolamos a aceleração
na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Resposta
O valor mínimo da aceleração
para que a ultrapassagem seja bem-sucedida é: