-Um carro viaja atrás de um caminhão lento, ambos à velocidade constante v1, em uma estrada de mão dupla. A distância do carro até a dianteira do caminhh̆o é d. Em dado instante, o carro entra no início de uma reta e seu motorista avista um carro vindo na direçăo oposta à velocidade constante v, a uma distân cia D. O motorista imprime ao carro uma aceleracão constante a para realizar a ultrapassagem. Qual é
valor mínimo de a para que a ultrapassagem seja bem-sucedida? Despreze o comprimento do carro.

Passo 1

Vamos lá! Temos um carro que está atrás de um caminhão lento, ambos se movendo a uma velocidade constante . A distância entre o carro e a frente do caminhão é . De repente, o carro entra em uma reta e o motorista vê um carro vindo na direção oposta a uma velocidade constante e a uma distância . Para ultrapassar com segurança, o motorista decide acelerar com uma aceleração constante . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor mínimo dessa aceleração para que a ultrapassagem seja bem-sucedida.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especialmente relacionados a movimentos uniformemente acelerados e relativos de dois objetos em movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação. O carro precisa ultrapassar o caminhão e, ao mesmo tempo, não pode se encontrar com o carro que está vindo na direção oposta. Isso significa que o tempo que o carro leva para ultrapassar o caminhão deve ser menor ou igual ao tempo que o carro vindo na direção oposta leva para chegar ao ponto onde a ultrapassagem ocorre.

Passo 3

Vamos calcular o tempo que o carro leva para ultrapassar o caminhão. Para isso, precisamos considerar que o carro está acelerando. A distância que o carro precisa percorrer para ultrapassar completamente o caminhão é d = v1 t + 12 a t^2 . Usando a equação do movimento uniformemente acelerado:
Onde:
  • é a distância a ser percorrida,
  • é a velocidade inicial do carro,
  • é a aceleração,
  • é o tempo.
Vamos resolver essa equação para o tempo .

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo que o carro vindo na direção oposta leva para alcançar o ponto de ultrapassagem. A distância que esse carro precisa percorrer é D = v t' , e ele está se movendo a uma velocidade constante t' = Dv . Então, o tempo que ele leva para chegar até o ponto é:
Portanto:

Passo 5

Para que a ultrapassagem seja bem-sucedida, o tempo que o carro leva para ultrapassar o caminhão t <= t' deve ser menor ou igual ao tempo que o carro vindo oposto leva para chegar ao ponto t <= Dv :
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 6

Voltando à equação do movimento do carro que est�� ultrapassando:
d = v1 t + 12 a t^2
Queremos encontrar o valor mínimo de d = v1 ( Dv ) + 12 a ( Dv )^2 que satisfaz a condição . Vamos substituir por na equação acima:

Passo 7

Agora, isolamos a aceleração d = v1 Dv + 12 a D^2v^2 na equação:
d - v1 Dv = 12 a D^2v^2
a = 2 v^2 ( d - v1 Dv )D^2
Multiplicando ambos os lados por a = 2 v (d v - v1 D)D^2 :
Simplificando:

Resposta

O valor mínimo da aceleração a = 2 v (d v - v1 D)D^2 para que a ultrapassagem seja bem-sucedida é:

Exercícios relacionados