Calcule, para todos os pontos, o seguinte divergente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o divergente de em todos os pontos. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao operador divergente. Para resolver, vamos precisar entender o que é divergente, o que representa o vetor e como aplicar a fórmula do divergente em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é divergente. O divergente de um campo vetorial mede quanto esse campo está “espalhando” ou “convergindo” em cada ponto do espaço. Matemáticamente, para um campo vetorial , o divergente é dado por:

Passo 3

Agora, vamos analisar o vetor . Aqui, é o vetor unitário na direção radial, e representa a unidade imaginária, onde . Então, podemos reescrever o vetor como:
Portanto, queremos calcular o divergente de .

Passo 4

Em coordenadas esféricas, o vetor unitário radial tem uma divergente conhecida. A fórmula para o divergente de um campo radial em coordenadas esféricas é:
No nosso caso, , já que estamos calculando o divergente de .

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula com :
Calculando as derivadas:
Então:

Resposta

O divergente de é:

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