Calcule, para todos os pontos, o seguinte divergente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o divergente de
em todos os pontos. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao operador divergente. Para resolver, vamos precisar entender o que é divergente, o que representa o vetor
e como aplicar a fórmula do divergente em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é divergente. O divergente de um campo vetorial mede quanto esse campo está “espalhando” ou “convergindo” em cada ponto do espaço. Matemáticamente, para um campo vetorial
, o divergente é dado por:
Passo 3
Agora, vamos analisar o vetor
. Aqui,
é o vetor unitário na direção radial, e
representa a unidade imaginária, onde
. Então, podemos reescrever o vetor como:
Portanto, queremos calcular o divergente de
.
Passo 4
Em coordenadas esféricas, o vetor unitário radial
tem uma divergente conhecida. A fórmula para o divergente de um campo radial
em coordenadas esféricas é:
No nosso caso,
, já que estamos calculando o divergente de
.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula com
:
Calculando as derivadas:
Então:
Resposta
O divergente de
é: