Tomando a definição de Campo Elétrico como: E(r)=14 pi epsilon0 integralV rho(r^prime)r^2 imath d tau^prime.
Prove que este campo obedece as Leis de Maxwell, ou seja, calcule a) o divergente e b) o rotacional do campo elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo elétrico definido pela expressão . Nosso objetivo é provar que esse campo obedece as Leis de Maxwell, especificamente:
a) Calcular o divergente ( ) do campo elétrico.
b) Calcular o rotacional ( ) do campo elétrico.
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de divergente e rotacional, que são operações do cálculo vetorial usadas para analisar campos vetoriais como o campo elétrico.

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente do campo elétrico, ou seja, nabla cdot E = partial Expartial x + partial Eypartial y + partial Ezpartial z .
A definição do divergente é uma operação que mede a “taxa de fluxo” de um campo vetorial saindo de um ponto. Matematicamente, para um campo nabla cdot E(r) = 14 pi epsilon0 integralV rho(r^prime) nabla cdot ( r|r - r^prime|^2 ) dtau^prime , temos:
nabla cdot ( rr^2 ) = 4pi de
No nosso caso, nabla cdot E(r) = 14 pi epsilon0 integralV rho(r^prime) cdot 4pi de é dada por uma integral sobre a distribuição de carga nabla cdot E(r) = 14 pi epsilon0 cdot 4pi rho(r) = rho(r)epsilon0 . Vamos aplicar o operador divergente dentro da integral:
Agora, precisamos calcular . Sabemos que:
onde é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares, exceto onde .
Substituindo isso na integral:
A propriedade da função delta faz com que a integral “pule” para o ponto , resultando em:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo elétrico, ou seja, nabla times E(r) = 14 pi epsilon0 integralV rho(r^prime) nabla times ( r|r - r^prime|^2 ) dtau^prime .
O rotacional mede a tendência de um campo vetorial “girar” ao redor de um ponto. Para um campo elétrico estático, esperamos que o rotacional seja zero, conforme uma das Leis de Maxwell.
Começamos aplicando o operador rotacional na expressão do campo elétrico:
nabla times (nabla phi) = 0
Sabemos que o rotacional de um gradiente é sempre zero, ou seja:
nabla times ( r|r - r^prime|^2 ) = 0
No nosso caso, a expressão nabla times E(r) = 14 pi epsilon0 integralV rho(r^prime) cdot 0 , dtau^prime = 0 pode ser vista como o gradiente de uma função potencial. Portanto:
Substituindo isso na integral:

Resposta

a) O divergente do campo elétrico é .
b) O rotacional do campo elétrico é .

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