Tomando a definição de Campo Elétrico como:
.
Prove que este campo obedece as Leis de Maxwell, ou seja, calcule a) o divergente e b) o rotacional do campo elétrico.
Prove que este campo obedece as Leis de Maxwell, ou seja, calcule a) o divergente e b) o rotacional do campo elétrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo elétrico definido pela expressão
. Nosso objetivo é provar que esse campo obedece as Leis de Maxwell, especificamente:
a) Calcular o divergente (
) do campo elétrico.
b) Calcular o rotacional (
) do campo elétrico.
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de divergente e rotacional, que são operações do cálculo vetorial usadas para analisar campos vetoriais como o campo elétrico.
Passo 2
Vamos começar calculando o divergente do campo elétrico, ou seja,
.
A definição do divergente é uma operação que mede a “taxa de fluxo” de um campo vetorial saindo de um ponto. Matematicamente, para um campo
, temos:
No nosso caso,
é dada por uma integral sobre a distribuição de carga
. Vamos aplicar o operador divergente dentro da integral:
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que:
onde
é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares, exceto onde
.
Substituindo isso na integral:
A propriedade da função delta
faz com que a integral “pule” para o ponto
, resultando em:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do campo elétrico, ou seja,
.
O rotacional mede a tendência de um campo vetorial “girar” ao redor de um ponto. Para um campo elétrico estático, esperamos que o rotacional seja zero, conforme uma das Leis de Maxwell.
Começamos aplicando o operador rotacional na expressão do campo elétrico:
Sabemos que o rotacional de um gradiente é sempre zero, ou seja:
No nosso caso, a expressão
pode ser vista como o gradiente de uma função potencial. Portanto:
Substituindo isso na integral:
Resposta
a) O divergente do campo elétrico é
.
b) O rotacional do campo elétrico é
.