Calcule o trabalho realizado por um campo de força
sobre uma partícula que se move ao longo de uma hélice dada por
do ponto
a
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o trabalho feito por um campo de força específico sobre uma partícula que se move ao longo de uma hélice. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha. Vamos precisar entender como integrar o campo de força ao longo do caminho da partícula para encontrar o trabalho total realizado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por um campo de força
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o campo de força e
é o elemento de deslocamento ao longo do caminho.
Passo 3
O caminho da partícula é dado pela hélice:
Vamos identificar os limites da integração. A partícula começa em
, onde
, e termina em
, onde
.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá
:
Isso representa o vetor tangente ao caminho no ponto
.
Passo 5
Agora, vamos expressar o campo de força
ao longo do caminho
:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão de
até
:
Vamos resolver cada termo separadamente.
Passo 8
Integrando
:
Integrando
:
Integrando
:
Passo 9
Agora, vamos somar as integrais e avaliar de
a
:
Substituindo
:
Substituindo
:
Resposta
Portanto, o trabalho realizado pelo campo de força é:
Exercícios relacionados
Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segundo a lei
. Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.
Resolver os limites abaixo:
Encontrar o trabalho realizado pelo campo de forças
ao longo da curva
dada por
.
Faça a soma e a subtração das frações: