Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segundo a lei r(t) = cos(2t) i + sen(2t) j + k. Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move de acordo com a posição dada por:
Além disso, precisamos mostrar que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a vetores e a noção de perpendicularidade entre vetores através do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. O vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente de :
Derivando cada termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de (que é uma constante) é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração. O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente de :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, temos:

Passo 4

Vamos mostrar que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição. Dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar for zero.
Vamos calcular o produto escalar :
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Novamente, calculamos o produto escalar :
Como o produto escalar também é zero aqui, os vetores aceleração e velocidade são perpendiculares.

Resposta

O vetor velocidade é:
E o vetor aceleração é:
Além disso, demonstramos que é perpendicular a e que é perpendicular a .

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