Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segundo a lei
. Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move de acordo com a posição dada por:
Além disso, precisamos mostrar que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a vetores e a noção de perpendicularidade entre vetores através do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. O vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente de
:
Derivando cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de é
. - A derivada de
(que é uma constante) é .
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração. O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente de
:
- A derivada de é
. - A derivada de
é .
Então, temos:
Passo 4
Vamos mostrar que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição. Dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar for zero.
Vamos calcular o produto escalar
:
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Novamente, calculamos o produto escalar
:
Como o produto escalar também é zero aqui, os vetores aceleração e velocidade são perpendiculares.
Resposta
O vetor velocidade é:
E o vetor aceleração é:
Além disso, demonstramos que
é perpendicular a
e que
é perpendicular a
.
Exercícios relacionados
Resolver os limites abaixo:
Resolver os limites abaixo:
Calcule o trabalho realizado por um campo de força
sobre uma partícula que se move ao longo de uma hélice dada por
do ponto
a
.
Encontrar o trabalho realizado pelo campo de forças
ao longo da curva
dada por
.