Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções: , se e 0 , nos demais casos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier! A gente tem uma função que é igual a quando e 0 em outros casos. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a Transformada de Fourier de uma função limitada no tempo e entender um pouco sobre exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Fourier de uma função é dada pela integral:
No nosso caso, é zero fora do intervalo , então a integral fica só nesse intervalo:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as duas exponenciais, temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos integrar a exponencial complexa. A integral de em relação a é:
Aplicando isso na nossa situação, onde :

Passo 5

Agora, vamos avaliar os limites da integral:
Simplificando os expoentes:

Passo 6

Vamos lembrar da identidade de Euler para senos:
Aplicando isso na nossa expressão:
Os se cancelam:

Resposta

A Transformada de Fourier da função é:

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