Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções:
, se
e 0 , nos demais casos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier! A gente tem uma função
que é igual a
quando
e 0 em outros casos. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a Transformada de Fourier de uma função limitada no tempo e entender um pouco sobre exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Fourier
de uma função
é dada pela integral:
No nosso caso,
é zero fora do intervalo
, então a integral fica só nesse intervalo:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as duas exponenciais, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos integrar a exponencial complexa. A integral de
em relação a
é:
Aplicando isso na nossa situação, onde
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar os limites da integral:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Vamos lembrar da identidade de Euler para senos:
Aplicando isso na nossa expressão:
Os
se cancelam:
Resposta
A Transformada de Fourier da função
é:
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.
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.
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