Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções: f(t)=e^j 2 t, se -1 e 0 , nos demais casos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier! A gente tem uma função que é igual a quando e 0 em outros casos. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a Transformada de Fourier de uma função limitada no tempo e entender um pouco sobre exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Fourier F(omega) = integral-infty^infty f(t) cdot e^-jomega t , dt de uma função F(omega) = integral-1^1 e^j2t cdot e^-jomega t , dt é dada pela integral:
No nosso caso, é zero fora do intervalo , então a integral fica só nesse intervalo:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as duas exponenciais, temos:
e^j2t cdot e^-jomega t = e^j(2 - omega)t
Então, a integral fica:
F(omega) = integral-1^1 e^j(2 - omega)t , dt

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos integrar a exponencial complexa. A integral de integral e^jkt , dt = e^jktjk + C em relação a F(omega) = [ e^j(2 - omega)tj(2 - omega) ]-1^1 é:
Aplicando isso na nossa situação, onde :

Passo 5

Agora, vamos avaliar os limites da integral:
F(omega) = e^j(2 - omega)(1) - e^j(2 - omega)(-1)j(2 - omega)
Simplificando os expoentes:
F(omega) = e^j(2 - omega) - e^-j(2 - omega)j(2 - omega)

Passo 6

Vamos lembrar da identidade de Euler para senos:
e^jtheta - e^-jtheta = 2j sin(theta)
Aplicando isso na nossa expressão:
F(omega) = 2j sin(2 - omega)j(2 - omega)
Os F(omega) = 2 sin(2 - omega)2 - omega se cancelam:

Resposta

A Transformada de Fourier da função F(omega) = 2 sin(2 - omega)2 - omega é:

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