Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções: f(t)=e^k t, se t<0 e 0 , se t>0. Considere k>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier juntos! A gente precisa calcular a transformada de Fourier da função , que é igual a quando e 0 quando . Aqui, é um número positivo. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Fourier. Ela é dada por:
F(omega) = integral-infty^infty f(t) e^-jomega t , dt
No nosso caso, é diferente de zero apenas quando . Então, a integral fica mais simples, pois podemos limitar os limites de integração de até 0.

Passo 3

Substituindo a função F(omega) = integral-infty^0 e^kt e^-jomega t , dt na definição, temos:
Aqui, combinamos os expoentes que têm .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no expoente:
e^kt e^-jomega t = e^(k - jomega)t
Então, a integral fica:
F(omega) = integral-infty^0 e^(k - jomega)t , dt

Passo 5

Para resolver essa integral, lembramos que:
integral e^at , dt = e^ata + C
onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 6

Aplicando essa fórmula, a integral definida de F(omega) = e^(k - jomega)tk - jomega |-infty^0 a 0 é:
Vamos avaliar nos limites.

Passo 7

Primeiro, avaliamos em e^(k - jomega) cdot 0k - jomega = 1k - jomega :
limt to -infty e^(k - jomega)tk - jomega
Agora, em :
Como e , tende a 0. Portanto, o termo no limite é 0.

Passo 8

Subtraindo os limites, temos:
F(omega) = 1k - jomega - 0 = 1k - jomega
Esse é o resultado da transformada de Fourier.

Resposta

A transformada de Fourier da função F(omega) = 1k - jomega é:

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