Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções: , se e 0 , se . Considere .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier juntos! A gente precisa calcular a transformada de Fourier da função , que é igual a quando e 0 quando . Aqui, é um número positivo. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Fourier. Ela é dada por:
No nosso caso, é diferente de zero apenas quando . Então, a integral fica mais simples, pois podemos limitar os limites de integração de até 0.
Passo 3
Substituindo a função na definição, temos:
Aqui, combinamos os expoentes que têm .
Passo 4
Vamos simplificar a expressão no expoente:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, lembramos que:
onde é uma constante. No nosso caso, .
Passo 6
Aplicando essa fórmula, a integral definida de a 0 é:
Vamos avaliar nos limites.
Passo 7
Primeiro, avaliamos em :
Agora, em :
Como e , tende a 0. Portanto, o termo no limite é 0.