Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções: , se e 0 , se . Considere .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier juntos! A gente precisa calcular a transformada de Fourier da função , que é igual a quando e 0 quando . Aqui, é um número positivo. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Fourier. Ela é dada por:
No nosso caso, é diferente de zero apenas quando . Então, a integral fica mais simples, pois podemos limitar os limites de integração de até 0.

Passo 3

Substituindo a função na definição, temos:
Aqui, combinamos os expoentes que têm .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no expoente:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, lembramos que:
onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 6

Aplicando essa fórmula, a integral definida de a 0 é:
Vamos avaliar nos limites.

Passo 7

Primeiro, avaliamos em :
Agora, em :
Como e , tende a 0. Portanto, o termo no limite é 0.

Passo 8

Subtraindo os limites, temos:
Esse é o resultado da transformada de Fourier.

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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Concernente à estrutura da Questāo 1, escreva para as afirmativas verdadeiras e para as falsas. Para cada afirmativa considerada falsa, explique o porquê. (4,0 pontos)
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Concernente à estrutura da Questāo 1, escreva para as afirmativas verdadeiras e para as falsas. Para cada afirmativa considerada falsa, explique o porquê. (4,0 pontos)
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Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções: , se e 0 , nos demais casos .