Calcule a transformada de Laplace dado que vale: [3 pontos]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace de uma função específica. O enunciado nos dá . Então, vamos usar os conceitos de Transformada de Laplace e derivadas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais. A notação é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na nossa função . Sabemos que:
Aqui, . Precisamos calcular e avaliar .

Passo 4

Vamos calcular :
Então, a expressão da Transformada fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Lembrando que:
Neste caso, porque temos .

Passo 6

Também precisamos da Transformada de Laplace de . Sabemos que:
Aqui, . Substituindo na fórmula:

Passo 7

Agora, aplicando a propriedade do deslocamento ( ):
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 8

Voltando à expressão da Transformada de Laplace da derivada:
Podemos fatorar o numerador:
Então, a expressão fica:

Resposta

A Transformada de Laplace é:

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