Calcule a transformada de Laplace F(s) dado que f(t) vale: [3 pontos] f(t)=dd t e^-t cdot t cdot cos (t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace de uma função específica. O enunciado nos dá . Então, vamos usar os conceitos de Transformada de Laplace e derivadas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais. A notação é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na nossa função L ddt g(t) = s cdot Lg(t) - g(0) . Sabemos que:
Aqui, . Precisamos calcular e avaliar .

Passo 4

Vamos calcular g(0) = e^0 cdot 0 cdot cos(0) = 1 cdot 0 cdot 1 = 0 :
F(s) = s cdot Lg(t)
Então, a expressão da Transformada fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular L e^at cdot f(t) = F(s - a) . Lembrando que:
Neste caso, porque temos .

Passo 6

Também precisamos da Transformada de Laplace de L t cdot cos(bt) = s^2 - b^2(s^2 + b^2)^2 . Sabemos que:
L t cdot cos(t) = s^2 - 1(s^2 + 1)^2
Aqui, . Substituindo na fórmula:

Passo 7

Agora, aplicando a propriedade do deslocamento ( L e^-t cdot t cdot cos(t) = (s + 1)^2 - 1[(s + 1)^2 + 1]^2 ):
(s + 1)^2 - 1 = s^2 + 2s + 1 - 1 = s^2 + 2s
Vamos simplificar o numerador:
L g(t) = s^2 + 2s[(s + 1)^2 + 1]^2
Então:

Passo 8

Voltando à expressão da Transformada de Laplace da derivada:
F(s) = s cdot s^2 + 2s[(s + 1)^2 + 1]^2
Podemos fatorar o numerador:
s^2 + 2s = s(s + 2)
Então, a expressão fica:
F(s) = s(s + 2)[(s + 1)^2 + 1]^2

Resposta

A Transformada de Laplace F(s) = s (s + 2) [ (s + 1)^2 + 1 ]^2 é:

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