Calcule a transformada de Laplace
dado que
vale: [3 pontos]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace de uma função específica. O enunciado nos dá
. Então, vamos usar os conceitos de Transformada de Laplace e derivadas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais. A notação é
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na nossa função
. Sabemos que:
Aqui,
. Precisamos calcular
e avaliar
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Então, a expressão da Transformada fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Lembrando que:
Neste caso,
porque temos
.
Passo 6
Também precisamos da Transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Aqui,
. Substituindo na fórmula:
Passo 7
Agora, aplicando a propriedade do deslocamento (
):
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 8
Voltando à expressão da Transformada de Laplace da derivada:
Podemos fatorar o numerador:
Então, a expressão fica:
Resposta
A Transformada de Laplace
é:
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(a)