Calcule a transformada de Laplace F(s) dado que f(t) vale: [3 pontos] f(t)=e^-2 t cdot cos (3 cdot t) cdot u(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace, que é uma ferramenta importante na engenharia e matemática para transformar funções do tempo para o domínio da frequência . Aqui, a função que a gente vai transformar é , onde é a função degrau de Heaviside, que garante que a função é zero para . Para resolver, vamos lembrar da fórmula da transformada de Laplace para funções exponenciais multiplicadas por cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição básica da transformada de Laplace:
F(s) = Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
No nosso caso, F(s) = integral0^infty e^-s t cdot e^-2 t cdot cos(3 t) , dt , então substituímos na integral:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Como temos e^-s t cdot e^-2 t = e^-(s + 2) t e F(s) = integral0^infty e^-(s + 2) t cdot cos(3 t) , dt , podemos combinar os expoentes:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da transformada de Laplace para Le^a t cos(b t) = s - a(s - a)^2 + b^2 , que é:
No nosso caso, e , já que temos .

Passo 5

Substituindo F(s) = s - (-2)(s - (-2))^2 + 3^2 = s + 2(s + 2)^2 + 9 e na fórmula, fica:

Resposta

A transformada de Laplace F(s) = s + 2(s + 2)^2 + 9 é:

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