Calcule, utilizando mudança de variáveis, as seguintes integrais:
(a) integral raiz3 x-2 d x
(b) integral sen^5(x) cos (x) d x
© integral 3 x5+6 x^2 d x
(d) integral x(1+4 x^2)^2 d x
(e) integral e^x raiz1+e^x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais usando a técnica de mudança de variáveis (também conhecida como substituição). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma expressão dentro da integral que seja complicada e que possamos substituir. Aqui, temos u = 3x - 2 . Vamos chamar o que está dentro da raiz de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para dudx = 3 Rightarrow du = 3 , dx Rightarrow dx = du3 em termos de . Para isso, derivamos em relação a :

Passo 4

Substituímos integral raiz3x - 2 , dx = integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2 em relação a :

Passo 6

Multiplicando pelo coeficiente que tínhamos fora da integral:
13 cdot 23 u^3/2 = 29 u^3/2

Passo 7

Agora, substituímos 29 (3x - 2)^3/2 + C de volta por :

Resposta

integral raiz3x - 2 , dx = 29 (3x - 2)^3/2 + C

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